可以签订。但是当事人必须要在规定期限之内去补开。当事人没有离职证明，目前解决方法有：一是补开；二是出具声明书。新单位要当事人提供上个单位开的离职证明，主要原因是依照我国劳动合同法规定执行的，我国劳动合同法规定，用人单位招用与其他用人单位尚未解除或者终止劳动合同的劳动者，给其他用人单位造成损失的，应当承担连带赔偿责任。因此当事人如果没有需要进行补救，由于当事人在上个单位只工作了一个月，到新单位的简历中把时间拉长到5个月了，并且改动了时间，所以，去原单位，原单位一般是不可能出具五个月的证明，但是当事人可以与单位沟通，按照实际情况出具。