随后，魏尔斯特拉斯提出了极限的严格定义，包括ε-δ和ε-N定义，为极限理论提供了坚实的理论基础。这些定义不仅使各种极限问题有了切实可行的判别准则，还使极限理论成为微积分的重要工具和基础。这些定义的提出，使得极限理论在数学领域中得到了广泛的应用，推动了数学分析的发展。柯西和魏尔斯特拉斯的工作不仅使极限理论更加严谨，也使得微积分成为了一个更加完善的数学分支。他们的定义不仅为后续的数学研究提供了坚实的理论基础，还促进了数学分析的发展。通过这些定义，数学家们能够更加精确地处理极限问题，进一步推动了数学学科的进步。