极限理论作为研究极限的严格定义、基本性质和判别准则的基础理论，具有重要的学术价值。尽管极限思想的萌芽可追溯到古希腊时期和战国时期，但极限概念的首次明确出现是在沃利斯的《无穷算数》中。牛顿在其《自然哲学的数学原理》中也使用了极限这个词，并进行了阐述。然而，直到18世纪下半叶，达朗贝尔等人认识到，将微积分建立在极限概念的基础上，才能使其达到完善状态。在此背景下，柯西首次给出了极限的描述性定义，这标志着极限理论的初步形成。
随后，魏尔斯特拉斯提出了极限的严格定义，包括ε-δ和ε-N定义，为极限理论提供了坚实的理论基础。这些定义不仅使各种极限问题有了切实可行的判别准则，还使极限理论成为微积分的重要工具和基础。这些定义的提出，使得极限理论在数学领域中得到了广泛的应用，推动了数学分析的发展。
柯西和魏尔斯特拉斯的工作不仅使极限理论更加严谨，也使得微积分成为了一个更加完善的数学分支。他们的定义不仅为后续的数学研究提供了坚实的理论基础，还促进了数学分析的发展。通过这些定义，数学家们能够更加精确地处理极限问题，进一步推动了数学学科的进步。
柯西和魏尔斯特拉斯的工作为极限理论的发展奠定了基础，他们的定义不仅使微积分更加严谨，还推动了数学分析领域的发展。这些定义不仅为后续的研究提供了坚实的理论基础，还促进了数学分析的进步，使得数学家们能够更加精确地处理极限问题。
随着数学的发展，极限理论的应用范围也不断扩大。在实分析、复分析、泛函分析等领域，极限理论发挥着至关重要的作用。它不仅帮助数学家们理解函数的性质，还为解决实际问题提供了有力的工具。通过极限理论，数学家们能够更加深入地研究函数的行为，进而解决各种数学问题。
总之，柯西和魏尔斯特拉斯的工作极大地推动了极限理论的发展，为数学分析奠定了坚实的基础。他们的定义不仅使微积分更加严谨，还推动了数学分析的进步，使得数学家们能够更加精确地处理极限问题，进而推动了数学学科的发展。
