母亲抛弃孩子的抚养权是否存在，需视具体情况而定。如果孩子是在父母不知情的情况下被拐卖，母亲可能有抚养权。但如果孩子是被遗弃或出卖，并在合法收养后，母亲无权要回孩子。若母亲放任被害人死亡，未履行扶养义务导致被害人死亡或无法获得救助，母亲可能因故意杀人罪受到定罪和处罚。法律分析；母亲抛弃孩子是否还有抚养权需要分情况而定，如果孩子当年是父母不知情的情况下被拐卖的，是可以的如果孩子当年是被遗弃的或者是被出卖的，在依法办理收养之后，是不能要回的而且放任被害人死亡，不履行必要的扶养义务，致使被害人因缺乏生活照料而死亡或者使被害人难以得到他人救助的，是可以以故意杀人罪定罪处罚的。拓展延伸；抚养权变更的条件和程序。