父母双方协商一致变更孩子的抚养权是合法的，根据最高法院的解释。如果双方不能协商一致，但符合法定情形，如一方严重疾病、不履行抚养义务、虐待子女或子女愿意跟另一方生活等，可以申请变更抚养权。法院还可以征求未成年子女的意见。再婚并不是法定情形。申请变更抚养权时需要提供相应证据。法律分析；情形一：父母双方协商一致变更孩子的抚养权。李一和王一离婚时，把孩子判给了王一，可是由于王一工作的原因，对孩子照顾不周，于是王一找到李一，提出来希望可以变更孩子的抚养权，让李一来抚养孩子，李一欣然同意，于是王一和李一协议变更了孩子抚养关系。根据最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释(一)第五十七条规定：父母双方协议变更子女抚养关系的，人民法院应予支持。