打架逃跑的当事人可能会面临的抓捕，如果经鉴定构成轻伤以上，则应当追究刑事责任。如果涉嫌故意伤害罪，被害人可以提起附带民事诉讼主张民事赔偿。如果未构成刑事案件，则可以提起民事诉讼进行行政处罚。法律分析；打架跑了会抓。经鉴定构成轻伤以上的，应当追究刑事责任，涉嫌故意伤害罪，被害人可以提起附带民事诉讼，主张民事赔偿。不构成刑事案件的，可以提起民事诉讼，进行行政处罚。拓展延伸；打架构成轻伤会怎样处理。根据我国《治安管理处罚法》第四十三条第一款规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。打架构成轻伤，根据法律规定，会受到五日以下拘留或者五百元以下罚款的处罚。然而，具体处理还需根据打架的具体情况来定。