矩阵的不变因子指的是矩阵的特征值，它是矩阵在线性变换下保持不变的因子。每个不变因子都对应一个特征向量，这些特征向量组成了矩阵的特征向量空间。矩阵的初等因子是通过对矩阵进行初等行变换或初等列变换得到的形式上的对角矩阵。初等行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的常数倍；初等列变换包括交换两列、某一列乘以一个非零常数、某一列加上另一列的常数倍。对于一个矩阵，通过对它进行初等行变换或初等列变换，可以得到与它等价的形式上的对角矩阵，这个对角矩阵的对角元素就是矩阵的初等因子。每个初等因子的幂次都对应着矩阵的特征空间的维数。