当讨论x趋向于无穷大时，x乘以sin(1/x)的极限值为1，这是一个经过解析过程得出的结论。以下是详细的步骤。首先，有lim(x→∞)xsin(1/x)，这个表达式可以转换为lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)。为了处理无穷乘以0的型态，我们利用洛必达法则，将x替换为1/t（t趋向于0），得到lim(t→0)sint/t。这个形式已经是0比0型，应用洛必达法则，我们发现极限值为1。极限在微积分中是基础概念，它描述了变量在连续变化中趋于稳定趋势的值。极限具有独特性质：一旦数列有极限，这个极限值是唯一的，且所有子列的极限与其相同；有界性意味着收敛的数列必定有一个界限。然而，仅有界限并不保证收敛，比如数列“1，-1，1，-1，…”，它有界但不收敛。