首先，我们要找到6、8和12这三个数的最小公倍数。6的质因数分解为2×3，8的质因数分解为2×2×2，12的质因数分解为2×2×3。最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积，如果有几个质因数相同，则乘较多的次数。因此，6、8、12的最小公倍数是2×2×2×3，即24天。12月共有31天，12月21日三人回家后，到24天后的第一天是1月14日。但是，12月21日那天，三人已经在一起了，所以1月14日并不是他们再次相聚的日子。我们需要从12月21日开始，加上24天，但要减去这一天，因此12月21日加上24天减去一天，即12月21日加上23天，结果是1月13日。综上所述，兄弟三人下次相聚将在1月13日，距离12月21日经过23天。