实对称矩阵在数学中扮演着关键角色，因其对角化和正交对角化特性备受瞩目。本文探讨的核心问题是：实对称矩阵是否一定满秩。答案是肯定的，除非它是零矩阵。首先，回顾实对称矩阵的定义，即矩阵与其转置相等（$A=A^T$），且元素为实数。这些矩阵拥有对角化的能力，其特征值构成的向量组是正交的，且对角化可以通过正交变换实现。秩是矩阵的一个关键属性，表示行向量或列向量的最大线性无关集合的元素数量。对于实对称矩阵，其秩等于特征值的数量，因为没有虚特征值存在。如果特征值全为非零，那么矩阵的秩就等于矩阵的阶数，即满秩。举例来说，考虑矩阵$$A=egin{bmatrix}1&amp；2&amp；3。2&amp；4&amp；5。3&amp；5&amp；6。