被告人的供词存在矛盾时，死刑辩护律师该如何应对？

法律分析：若被告人的供词存在矛盾，辩护律师可以通过多种途径进行辩护，如质疑证人证言、调取证据等。同时，辩护律师需要了解证人证言、物证等证据的真实性、可信度，为被告人提供更有说服力的辩护。

法律依据：

1. 《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十二条规定：“被告人有权聘请律师进行辩护，律师应当在法律规定的范围内为被告人提供辩护。”

2. 《中华人民共和国刑法》第二十九条规定：“刑法有关规定应当按照罪犯所犯罪行的事实和情节以及罪犯的社会危险性进行量刑。”

3. 《中华人民共和国律师法》第十二条规定：“律师职业行为的基本准则是依法行使律师职业权利和履行律师职业义务。”

总结：在被告人的供词存在矛盾的情况下，死刑辩护律师需要充分了解证据，并质疑证人证言，调取相关证据，从而为被告人提供有力的辩护。同时，律师需要在法律规定的范围内行使职业权利和履行职业义务，依法进行辩护。