多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：“顶点数-棱长数+表面数=2”。

简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形我们在求所有面的内角总和Σα一方面，利用面求内角总和。

设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，各面的内角总和为：Σα = [(n1-2)·180°+(n2-2)·180°+…+(nF-2) ·180°]= (n1+n2+…+nF -2F) ·180°=(2E-2F) ·180°= (E-F) ·360°（1）另一方面，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180°，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360°，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180°。所以，多面体所有各面的内角和为：

Σα = (V-n)·360°+(n-2)·180°+(n-2)·180°=（V-2）·360°. （2）由（1）（2）得(E-F) ·360°=（V-2）·360°所以 V+F-E=2。

意义

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；

（2）思想方法创新：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。