在微分几何的基石中，微分形式扮演着关键角色。以n维欧氏空间R^n为例，我们通过坐标（x_1, ..., x_n）探讨其概念。欧几里得度量的微分表达式ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2，这里的dx_i不仅是基本的一阶微分，它与自身在实数域R上的张量积形成dx_i^2。ds代表微小向量dr的模，而ds^2则是ds的自张量积。通过在点p的基向量dx_1(p), ..., dx_n(p)构成的n维余切空间T^*，我们看到它本质上是R^n的线性同构。若将系数扩展为邻域上实值函数，这些基向量便生成了一阶外微分形式模，广泛应用于代数几何中。
另一方面，对于任何n维向量空间V，我们可以定义r次外积空间A^r(V)，其元素如e_{i1}∧e_{i2}∧...∧e_{ir}构成，其中1≤i1<i2<...<ir≤n。当V被设定为T^*时，A^r(T^*)中的元素即为r次微分形式，它们由基元素dx_{i1}∧dx_{i2}∧...∧dx_{ir}线性组合而成，每个系数关联着坐标函数。微分形式的概念不仅限于欧氏空间，它还可推广至微分流形，形成一个外代数的整体结构。
