可积函数一定有界吗

一定有界。在函数中，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件，所以可积函数是一定有界的，可积函数是存在积分的函数，除非特别指明，积分是指勒贝格积分，否则，称函数为黎曼可积等，比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。在数学上，可积函数也可称作黎曼积分，黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制，勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

一定有界。在函数中，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件，所以可积函数是一定有界的，可积函数是存在积分的函数，除非特别指明，积分是指勒贝格积分，否则，称函数为黎曼可积等，比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。在数学上，可积函数也可称作黎曼积分，黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制，勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。