圆锥曲线练习题(一)

一，选择题

1.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（    ）

2.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（       ）

3.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（   ）

    A、      B、      C、         D、

4.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(   )

    A.        B.   C.3       D.5

5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（    ）

6.已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(  )

      (A)       （B）      (C)              (D) 

7.已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于A、B两点，设，则的值等于（   ）

A.2          B.3           C.4               D.5

8. 若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 （   ）

A．         B．         C．            D． 

9.已知点、为双曲线的左、右焦点，为右支上一点，点到右准线的距离为，若、、依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是 (  )

A．，    B．，   C．，    D．， 

10．已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是(  )

A．       B．       C．      D． 

11.已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是   （ ）

A．      B．       C．         D． 

12.AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是(    )

A.圆        B.椭圆    C.一直线        D.两平行线

13.在正方体中,若点P在侧面及其边界上运动,若动点P到BC的距离是动点P到直线的距离的两倍,则动点P的轨迹为（    )

A.抛物线的一部分                B.双曲线的一部分

C.椭圆的一部分                D.圆的一部分

二，填空题

1.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为                

2.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率        ；

（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值        .

3.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。

4.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽    米.

5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=                     .

6.已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4， 2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。

7.椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

8．为四面体的侧面内的动点，若点到底面的距离与点到点的距离相等，则动点在侧面内的轨迹可能是         ．（填上你认为正确的一个结论序号） ①线段  ②圆的一部分  ③双曲线的一部分  ④抛物线的一部分 ⑤椭圆的一部分

9．若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A，B的任一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有类似地，对于双曲线有=      

10．经过双曲线的右焦点任意作交双曲线右支的弦，过作双曲线右准线的垂线，垂足为，则直线必经过点　　　.

11. 已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值是__ _______。

12．如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当时，椭圆的离心率是      .  

三，解答题

1.给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.

解：（Ⅰ）由题意得：，半焦距        

则椭圆C方程为                        

“伴随圆”方程为          …………3分

（Ⅱ）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：，          

则整理得

所以，解①    ……5分

又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，

则有化简得   ②      ………7分

联立①②解得，，

所以，，则           …………8分

（Ⅲ）当都有斜率时，设点其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

由，消去得到  …………9分

即，，  

经过化简得到：，     ……11分

因为，所以有，

设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足方程，

因而，即直线的斜率之积是为定值       …13分

2.已知动点与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数.

(I) 求动点P的轨迹C的方程；

(II) 试根据的取值情况讨论轨迹C的形状：

(III) 当=-2时，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、B两点，求的面积的最大值.

2.解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零

        所以    

整理得（λ≠0，x≠±1）                （3分）

    （Ⅱ）①当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）

②当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴

两个端点）

③当时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去

点(－1，0)，(1，0)

④当时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）            （7分）

        （Ⅲ）当时，轨迹C的椭圆（x≠±1）

            由题意知，l的斜率存在

            设l的方程为，代入椭圆方程中整理得

  （*）

           设  ，则x1，x2的方程（*）的两个实根

∴，                （9分）

∴

        （11分）

当k＝0时，取“＝”∴k＝0时，△OAB的面积取最大值为．        （13分）

3.已知椭圆和圆过椭圆上一点P 引圆O的两条切线，切点分别为A、B。

（1）（i）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

（ii）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，

求椭圆离心率e的取值范围；

（2）设直线与x轴、y轴分别交于点M，N，

判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由

3.解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，

∴，∴，∴，∴． ------3分                             

（ⅱ）由及圆的性质，OBP为正方形可得，

∴∴∴，．   -------- 7分

（Ⅱ）设，则切线

   方程为：，   方程为：．

∴，∴,

直线方程为    ，即   ． --10分

令，得，令，得，

∴，

∴为定值，定值是．      -------------13分

4.如图，已知椭圆（a>b>0)的左、右焦点分别为，短轴两个端点为.A、B且四边形是边长为2的正方形.

(I)求椭圆的方程；

(II)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD丄CD，连结CM，交椭圆于点P.证明：为定值；

(III)在（II)的条件下,试问X轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在，求出点Q的坐标；若不存在,说明理由.

略解（1）

（2）（定值）

（3）略

5.已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点。

（1）求双曲线的方程；

（2）判断B、P、N三点是否共线；并证明你的结论

（3）求面积的最小值。

解：（1）易得双曲线方程为

   （2）由（1）可知得点设直线L的方程为：

由：   可得

设

所以       所以

因为 

  == =0

所以向量共线。所以B， P，N三点共线

（3）因为 直线L与双曲线右支相交于M，N

  所以所以

  令

由当时，三角形BMN面积的最小值为18

圆锥曲线练习卷（1）答案

一，选择题CCBAC,CBCCD,ABC

   二，填空题1)  2) 3)3   4)  5)  6) 4  7)  8)④ ⑤    9)   10)    11)12    12）