最新人教版八年级下册数学《期中测试题》含答案

期  中  测  试  卷

一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（    ）

A.     B.     C.     D. 

2. 在Rt△ABC中，，则AB的长是（    ）

A.     B. 2    C. 1    D. 

3. 下列计算正确的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

4. 下列说法中，错误的是（    ）

A. 平行四边形的对角线互相平分    B. 矩形的对角线互相垂直

C. 菱形的对角线互相垂直平分    D. 正方形的对角线相等

5. 如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝5，AD＝3，OF＝1.2，则四边形BCEF的周长为（    ）

A. 9.2    B. 9.4    C. 10.4    D. 13.4

6. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ）

A. 如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形

B. 如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形

C. 如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形

D. 如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）

A 60°    B. 45°    C. 30°    D. 75°

8. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为（    ）

A. 6    B. 5    C. 8    D. 10

9. 在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．

10. 如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，则正方形ABCD的面积是（    ）

A. 36    B. 45    C. 54    D. 

二、填空题

11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．

12. 若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是_____.

13. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是_______．

14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝54°，则∠AEG＝________．

15. 如图，矩形ABCD面积40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．

16. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是_______．

三、解答题

17. 计算：

（1）﹣4+÷；

（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．

18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE平行四边形．

19. 如图是一块地，已知AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，且CD⊥AD，求这块地的面积．

20. 阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料，

（1）化简：；

（2）+++…+．

21. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝6，AF＝2DF，求CF的长．

22. 如图，正方形ABCD对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．

23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．

24. 已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．

（1）问题发现

如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是_____，数量关系为_______；

（2）拓展探究

如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；

（3）解决问题

如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．

25. 感知：如图①，在正方形ABCD中，E是AB一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；

拓展：在图①中，若G在AD，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝20，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

答案与解析

一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．

【详解】解：A、，则不是最简二次根式，本选项错误；

B、=2，则不是最简二次根式，本选项错误；

C、是最简二次根式，本选项正确；

D、，则不是最简二次根式，本选项错误.

【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．

2. 在Rt△ABC中，，则AB的长是（    ）

A.     B. 2    C. 1    D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

根据在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，利用勾股定理，可以求得AB的长．

【详解】解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，

∴，       

故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．

3. 下列计算正确的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

【详解】解：A.，不是同类项，不能合并，故错误；

B.，正确；

C.，故错误；

D.，故错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式是解题的关键．

4. 下列说法中，错误的是（    ）

A. 平行四边形的对角线互相平分    B. 矩形的对角线互相垂直

C. 菱形的对角线互相垂直平分    D. 正方形的对角线相等

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质逐项判断即可．

【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，此选项正确；    

B. 矩形的对角线不一定垂直，此选项错误；

C. 菱形的对角线互相垂直平分，此选项正确；    

D. 正方形的对角线相等，此选项正确．

故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线所具有的性质，属于基础题目．

5. 如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝5，AD＝3，OF＝1.2，则四边形BCEF的周长为（    ）

A 9.2    B. 9.4    C. 10.4    D. 13.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由ASA证得△AFO≌△CEO，推知OF＝OE，CE＝AF；最后由平行四边形的对边相等、等量代换可以求得四边形BCEF的周长．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AB∥CD，AD＝BC＝3，

∴∠DCO＝∠BAC；

在△AFO和△CEO中，，

∴△AFO≌△CEO（ASA），

∴OF＝OE，CE＝AF，

∴四边形BCEF的周长为：BC＋EC＋OE＋OF＋BF＝BC＋AF＋2OF＋BF＝BC＋AB＋2OF＝3＋5＋2×1.2＝10.4；

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

6. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ）

A. 如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形

B. 如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形

C. 如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形

D. 如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．

【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；

选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；

故选D．

【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定出此题．

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）

A. 60°    B. 45°    C. 30°    D. 75°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质可知∠CED=∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．

【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，

∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，

∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，

∴△ACE是等边三角形，

∴∠CED=60°，

∴∠B=∠CED=30°．

故选C．

【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED=60°．

8. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为（    ）

A. 6    B. 5    C. 8    D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，

∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12DB＝96，

解得：BD＝16，

∴AO＝OC＝6，OB＝OD＝8，AO⊥BO，

又∵点E是AB中点，

∴OE是△DAB的中位线，

在Rt△AOB中，AB＝＝10，

则OE＝AD＝AB＝5．

故选：B．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理和三角形中位线的性质，解答关键根据题意做到数形结合.

9. 在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．

【答案】2.4

【解析】

【分析】

根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．

【详解】连结AP，

在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，

∴∠BAC=90°，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴四边形AFPE是矩形，

∴EF=AP．

∵M是EF的中点，

∴AM=AP，

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，

∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB，

∴AP：AC=AB：BC，

∴AP：8=6：10，

∴AP最短时，AP=4.8，

∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4．

故答案为2.4

【点睛】解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．

10. 如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，则正方形ABCD的面积是（    ）

A. 36    B. 45    C. 54    D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD＝∠DNC＝90°，AD＝DC，∠1＝∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM＝CN，求出AM＝CN＝4，DN＝8，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．

【详解】解：如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，

则∠AMD＝∠DNC＝90°，

∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，

∴∠2+∠3＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△AMD和△CND中

，

∴△AMD≌△CND（AAS），

∴AM＝CN，

∵a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，

∴AM＝CN＝3，DN＝6，

在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2＝DN2+CN2＝32+62＝45，

即正方形ABCD的面积为45，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了根据平行线的性质证明三角形全等，准确分析是解题的关键．

二、填空题

11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．

故答案是x≥2．

【点睛】考点：二次根式有意义的条件．

12. 若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是_____.

【答案】30

【解析】

【分析】

根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】解：∵，

∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，

∴a=5，b=12，c=13，

∵52+122=132，

∴△ABC是直角三角形，．

∴以a，b，c为三边的三角形的面积=.

【点睛】本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

13. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是_______．

【答案】24

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义可得出∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得出∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可求出CD的长，即可求出平行四边形ABCD的周长．

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE．

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，

∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．

故答案为：24．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线以及等腰三角形的性质，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质，求出CD的长是解题的关键．

14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝54°，则∠AEG＝________．

【答案】72°

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小．

【详解】解：∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠GFE＝54°，

由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝54°，

∴∠DEG＝108°，

∴∠AEG＝180°﹣108°＝72°．

故答案为：72°．

【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线的性质，解题时注意：矩形的对边平行，且折叠时对应角相等．

15. 如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．

【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，

∵四边形ABCD是矩形

∴AO=CO=5=BO=DO，

∴S△DCO=S矩形ABCD=10，

∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，

∴10=×DO×PF+×OC×PE

∴20=5PF+5PE

∴PE+PF=4

故答案为4

【点睛】本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．

16. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是_______．

【答案】3+

【解析】

【分析】

取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．

【详解】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，

∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，

∴AE＝BE＝3＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，

∴DE＝＝，

∵OD≤OE+DE，

∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．

∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，

故答案为：3+．

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．

三、解答题

17. 计算：

（1）﹣4+÷；

（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．

【答案】（1）3；（2）2+2．

【解析】

【分析】

（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．

【详解】解：（1）原式＝3﹣2+ 

＝3﹣2+2

＝3；

（2）原式＝1﹣3+1+2+3

＝2+2．

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、除法运算、平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB//CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且AB＝CD，

又∵AE＝CF，

∴BE＝DF，

∴BE∥DF且BE＝DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键.

19. 如图是一块地，已知AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，且CD⊥AD，求这块地的面积．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．

【详解】解：连接AC，

∵CD⊥AD

∴∠ADC=90°，

∵AD=4，CD=3，

∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，

又∵AC＞0，

∴AC=5，

又∵BC=12，AB=13，

∴AC2+BC2=52+122=169，

又∵AB2=169，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=

【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20. 阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料，

（1）化简：；

（2）+++…+．

【答案】（1）+；（2）．

【解析】

【分析】

（1）分母有理化即可；

（2）先分母有理化，然后合并即可．

【详解】解：（1）；

（2）+++…+

＝．

【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，本题中二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．找出分母的有理化因式是解本题的关键．

21. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝6，AF＝2DF，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝3．

【解析】

【分析】

（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可；

（2）取CD的中点G，连接FG，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝6，∠D＝∠ABC＝60°，根据菱形的性质得到AF＝AB，推出△DFG是等边三角形，得到FG＝DG＝CG，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EBF＝∠AFB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∵BO⊥AE，

∴∠AOB＝∠EOB＝90°，

∵BO＝BO，

∴△BOA≌△BOE（ASA），

∴AB＝BE，

∴BE＝AF，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：在CD上取CD的中点G，连接FG，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝6，∠D＝∠ABC＝60°，

∵四边形ABEF是菱形，

∴AF＝AB，

∴AF＝CD，

∵AF＝2DF，

∴CD＝2DF，

∴DG＝DF＝CG，

∴△DFG是等边三角形，

∴FG＝DG＝CG，

∴∠DFC＝90°，

∴CF＝CD＝3．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

22. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）MN＝4．

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的性质得到角度和相等线段后证明△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为8且E为OM的中点知OH＝HA＝4、HM＝8，再根据勾股定理得OM的长，由直角三角形性质知MN＝OM问题得解．

【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM＝ON．

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为8，

∴OH＝HA＝4，

∵E为OM中点，

∴HM＝8，

则OM＝，

∴MN＝OM＝4．

【点睛】考查正方形的几何综合题，结合正方形的性质，全等三角形的判定定理以及勾股定理和直角三角形求线段长度，本题解题的关键是正方形的性质和三角形的相关知识．

23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP矩形；

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．

【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.

【解析】

【分析】

（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；

（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；

（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．

【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，

解得t=8．

答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；

（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形

当AQ=CQ，即=16-t时，四边形AQCP为菱形．

解得：t=6．

答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；

（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，

面积为：10×8=80（cm2）．

24. 已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．

（1）问题发现

如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是_____，数量关系为_______；

（2）拓展探究

如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；

（3）解决问题

如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．

【答案】（1）EF⊥BC，EF＝BC；（2）EF⊥BC成立，EF＝BC不成立；EF＝BC；证明见解析；（3）EF＝8．

【解析】

【分析】

（1）问题发现：由平行四边形的性质可得BH＝HC＝BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH＝BH，由三角形中位线定理可得AH∥EF，EF＝2AH，可得结论；

（2）拓展探究：由平行四边形的性质可得BH＝HC＝BC，OH＝HF，由等腰直角三角形的性质可得AH＝BH，由三角形中位线定理可得AH∥EF，EF＝2AH，可得结论；

（3）解决问题：由平行四边形的性质可得BH＝HC＝BC，OH＝HF，由等腰三角形的性质可得AH⊥BC，由勾股定理可求AH的长，由三角形中位线定理可得EF＝2AH＝8．

【详解】解：问题发现

（1）如图1，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC，OH＝HF，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，

∴AH＝BH，

∵AE＝OA，OH＝HF，

∴AH∥EF，EF＝2AH，

∵AH∥EF，AH⊥BC，

∴EF⊥BC，

∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH，

∴EF＝BC，

故答案为：EF⊥BC，EF＝BC；

（2）拓展探究

如图2，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC，OH＝HF，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，

∴AH＝BH＝HC，

∵AE＝OA，OH＝HF，

∴AH∥EF，EF＝2AH，

∵AH∥EF，AH⊥BC，

∴EF⊥BC，

∵AH＝BH，BC＝2BH，

∴BC＝2AH，

∵EF＝2AH，

∴EF＝BC；

（3）解决问题

如图3，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC＝3，OH＝HF，

又∵AB＝AC＝5，

∴AH⊥BC，

∴根据勾股定理得，AH＝＝4，

∵OH＝HF，AE＝AO，

∴EF＝2AH＝8．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明AH∥EF，EF＝2AH是本题的关键．

25. 感知：如图①，在正方形ABCD中，E是AB一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；

拓展：在图①中，若G在AD，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝20，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

【答案】感知：证明见解析；拓展：成立，理由见解析；运用：DE＝19．

【解析】

【分析】

感知：利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE＝CF；

拓展：由△BEC≌△DFC，可得∠BCE＝∠DCF，即可求∠GCF＝∠GCE＝45°，且GC＝GC，EC＝CF可证△ECG≌△GCF，则结论可求．

运用：过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE＝DF＋BE＝4＋DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得DE的长．

【详解】感知：证明：如图1中，

在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS），

∴CE＝CF；

拓展：成立，

∵∠GCE＝45°，

∴∠BCE＋∠GCD＝45°，

∵△BEC≌△DFC，

∴∠BCE＝∠DCF，

∴∠DCF＋∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°，

∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF，

∴△GCE≌△GCF（SAS），

∴EG＝GF，

∴EG＝GD＋DF＝BE＋GD；

运用：如图：过点C作CF⊥AD于F，

∵AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠A＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，

∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝20，

∴四边形ABCF是正方形，

∴AF＝20，

由（2）可得DE＝DF＋BE，

∴DE＝4＋DF

在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2．

∴（20﹣4）2＋（20﹣DF）2＝（4＋DF）2．

∴DF＝15．

∴DE＝4＋15＝19．

【点睛】本题是一道几何综合题，内容涉及三角形全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．