洛伦兹力巩固练习及复合场

　所谓复合场，即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等．当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀速直线运动或静止状态，当带电粒子所受合力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动．

一、带电粒子在复合场中做直线运动

 1．带电粒子在复合场中做匀速直线运动：正确画出受力分析图是解题的关键。

  类型一：粒子运动方向与磁场平行时（洛伦兹力为零），电场力与重力平衡，做匀速直线运动。

 类型二：粒子运动方向与磁场垂直时，洛伦兹力、电场力与重力平衡，做匀速直线运动。

【例1】如图5所示，在正交的匀强电场和磁场的区域内（磁场水平向内），有一离子恰能沿直线飞过此区域（不计离子重力） [ 　　] 

　　A．若离子带正电，E方向应向下 　　B．若离子带负电，E方向应向上 

　　C．若离子带正电，E方向应向上 　　D．不管离子带何种电，E方向都向下 

2．带电粒子在复合场中做变速直线运动

  类型一：如果粒子在复合场中受轨道、支撑面、轻绳或轻杆等有形的约束时，可做变速直线运动。解题时只要从受力分析入手，明确变力、恒力及做功等情况，就可用动能定理、牛顿运动定律、运动学相关知识进行求解。

类型二：在无有形约束条件下，粒子受洛伦兹力、电场力、重力作用下，使与速度平行的方向上合力不等于零，与速度垂直的方向上合力等于零，粒子将做匀变速直线运动。明确这一条件是解题的突破口。

【例2】.质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图2所示，电场强度为E，磁感应强度为B。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大，求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。

 【例3】.质量为m，电量为+q的小球以初速度v0以与水平方向成θ角射出，如图4所示，如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v0方向做匀减速直线运动，试求所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向，加了这个二个场后，经多长时间速度变为零?

二、带电粒子在复合场中的曲线运动

 1．带电粒子在复合场中做圆周运动 

类型一：匀速圆周运动

 带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，必定有其它力与恒定的重力相抵消，以确保合力大小不变，方向时刻指向圆心。一般情况下侧重考查重力恰好与电场力平衡，洛伦兹力充当向心力，粒子在竖直平面内做圆周运动这类题，它的隐含条件就是重力恰好与电场力平衡。

  2．带电粒子在复合场中做一般曲线运动

 若带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则带电粒子在复合场中将做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。处理此类问题，一般应用动能定理和能量守恒定律求解。

例4（多选）.场强为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场正交，如图所示，一质量为m的带电粒子，在垂直于磁场方向的平面内做半径为R的匀速圆周运动，设重力加速度为g，则下列说法正确的是（      ）

 A．    粒子带负电，且q=m/E      B．    粒子顺时针方向转动

 C．    粒子速度大小为V=BRg/E    D．    粒子的机械能守恒

例5（多选）.设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图10所示。已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零。C点是运动的最低点。忽略重力,以下说法中正确的是：（    ）

 A．这离子必带正电荷       B．A点和B点位于同一高度 

 C．离子在C点时速度最大   D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点

 三、带电粒子在组合式复合场中的分阶段运动

 这类问题往往是粒子依次通过几个并列的场，如电场与磁场并列；其运动性质随区域场的变化而变化，解题的关键在于分析清楚在各个不同场中的受力及运动时的速度的关系，画出运动的草图。

 例6.在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图11所示。不计粒子重力，求

 （1）M、N两点间的电势差UMN ；

 （2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；

 （3）粒子从M点运动到P点的总时间t。

【练习】

1（双）．如图所示，不同质量和电荷量的正粒子束垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场中，有些粒子保持原来的运动方向不变，这些粒子再垂直进入另一匀强磁场中，分成几束．不计粒子重力，进入匀强磁场B2后沿不同轨迹运动的粒子

  A．速度大小相等             B．速度大小不相等    

  C．电荷量与质量之比相等     D．电荷量与质量之比不相等

2、如图15，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为L，电场强度为E，磁场的磁感应强度都为B，且右边磁场范围足够大．一带正电粒子质量为m，电荷量为q，从A点由静止释放经电场加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回A点而重复上述过程，不计粒子重力，求：

 ⑴画出带电粒子在上述运动过程的轨迹

（2）粒子进入磁场的速率v；（3）中间磁场的宽度d

3．如图所示，一根绝缘细杆固定在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，杆和磁场垂直，与

水平方向成θ角。杆上套一个质量为m、电量为+q的小球，小球与杆之间的动摩擦因数

为μ。从A点开始由静止释放小球，使小球沿杆向下运动，设磁场区域很大，杆很长。

已知重力加速度为g，求：

（1）定性分析小球运动的加速度和速度的变化情况；

（2）小球在运动过程中最大加速度的大小；

（3）小球在运动过程中最大速度的大小。

4、质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与水平成45°角进入匀强电场和匀强磁场，如图3—5—13所示，若微粒在电场、磁场、重力场作用下做匀速直线运动，则电场强度大小E=_______,磁感应强度大小B=_______.

【例题答案】

例1、AD

例2：设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）受力分析如图3。当洛伦兹力和电场力大小相等时，即qBv=Eq，在竖直方向上只受重力，合力最大，加速度最大，即am=g。

 当摩擦力和重力大小相等时，竖直方向上合力为零，速度达到最大值。则竖直方向上：；水平方向上：。联立解得：

例3、由题知小球在重力和电场力作用下沿v0方向做匀减速直线运动，可知垂直v0方向上合外力为零，根据力的分解得，重力与电场力的合力沿v0所在直线.，磁场方向平行于v0所在直线。

 建如图5所示坐标系，设场强E与v0成φ角，则受力如图：由牛顿第二定律可得

       ①       ②

 由①式得：             ③

 由③式得：φ=90°时，E最小为：，其方向与v0垂直斜向上，将φ=90°代入②式可得a=-gsinθ。即在场强最小时，小球沿v0做加速度为a=-gsinθ的匀减速直线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0=v0-gsinθt。可得： 

 点评：本题重在挖掘隐含条件：据“保证小球仍沿v0方向做匀减速直线运动”的条件，推测重力和电场力在垂直于v0方向合力为零，磁场方向平行于v0所在直线，考查学生分析综合能力及思维发散能力。

例4：粒子做匀速圆周运动，受力分析如图7所示：所以粒子必需带负电。由于粒子做匀速圆周运动，则有，解得：。洛伦兹力提供向心力，则。联立解得。除重力做功之外，还有电场力做功，因此粒子的机械能不守恒。

 故答案为ABC

例5 因平行板间的电场方向向下，依题意离子由A点无初速度释放后向下运动，此时离子不受洛仑兹力，仅受电场力，则电场力方向向下，所以离子必须带正电，故A项正确。离子到达B点时速度为零，由动能定理知，离子从A到B的运动过程中，外力对离子做功的代数和为零，但由于洛仑兹力不做功，故离子从A到B的运动过程中电场力做功为零，因此离子在A、B两点的电势能相等。A、B两点的电势相等，即 A、B两点应在同一个高度，故B项正确。由于C点是在运动的最低点，离子由A运动到C点电场力做功最多，由动能定理知，离子在C点的速度应最大，故C项正确。离子运动到B点时，所处的运动状态与在A点时相同，离子达到B点后将要开始的运动也将向右偏，不可能回到A，故D错误。

 点评：本例关键在于粒子的运动过程分析，对于做变加速曲线运动的粒子，受力分析和能量分析，是研究粒子在复合场中运动问题的两种基本方法。

例6：根据粒子在不同区域内的运动特点和受力特点画出轨迹，分别利用类平抛和圆周运动的分析方法列方程求解。

 (1)    设粒子过N点时的速度为v，有：＝cosθ。解得：v＝2v0。粒子从M点运动到N点的过程，有：。解得：UMN＝

 (2)    粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，qvB＝ 解得：r=

 (3)由几何关系得ON＝rsinθ。设粒子在电场中运动的时间为t1，有：ON＝v0t1。联立解得：t1＝。粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝T，t2＝。t＝t1＋t2。联立解得t＝。

 点评：组合场中电场和磁场是各自的，计算时可以单独使用带电粒子在电场或磁场中的运动公式来列式处理．电场中常有两种运动方式：加速或偏转；而匀强磁场中，带电粒子常做匀速圆周运动。

【练习答案】

1、AC

2、             

3、１.解：（1）先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动。                   

（2）当杆对小球的弹力为零时，小球加速度最大。

小球受力如图1所示                     

根据牛顿第二定律   mgsinθ = ma        

求出               a = gsinθ           

（3）当小球所受合力为零时，速度最大，设最大速度为vm

小球受力如图2所示                     

根据平衡条件   qvmB ＝ N + mgcosθ      

mgsinθ ＝ f              

滑动摩擦力     f ＝μN                  

求出                       4、.E=;B=