初中生数学思维风暴活动九年级试题

九年级试题

1、一同学根据下表，作了四个推测：

③的值随着的增大越来越接近于1；④的值最大值是3．

则推测正确的有（    ）

    A. 1个    B. 2个    C．3个    D. 4个

2、如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（    ）

A   500m     B    525 m    C  575 m     D    625 m 

3、如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是(      )

A   0       B   1    C   2       D    3

4、已知非零实数， 满足，则等于（    ）

A   －1         B   0         C   1       D    

5、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②            B．    ①③④         C．①②③⑤        D．①②③④⑤

6、如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对折后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么（     ）

A           B          C           D   2

7、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为(      )

A．0        B．1        C．2        D．3

8、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（      ）

    A   0        B    1      C       D  

二、填空题（每小题5分，共40分）

9、若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为______．

10、设，则代数式的值为     

11、读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=        . 

12、在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC。如图，当点A的横坐标为时，则点B的坐标为              ；

13、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为           ．

14、如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为            。

15、如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于_______

16、在△ABC中，BC=6，，所在四边形是△ABC的内接正方形，所在四边形是△的内接正方形，所在四边形是△的内接正方形，依此类推，则的长为              。

三、解答题：（共70分）

17、（10分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm． 

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）要围成面积为45 m的花圃，AB的长是多少米？

 （3）能围成面积比45 m更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如不能，请说明理由。

18、（12分）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为，表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用t表示）从车站开出一部？

19、（本题12分）阅读理解：对于任意正实数a、b，

∵≥0，∴≥0，∴≥，只有当a＝b时， =．

根据上述内容，回答下列问题：

(1)若m＞0，只有当m＝     时，有最小值      ．

（2）探索应用：已知，点Q（-3，-4）是反比例函数图象的一点，过点Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B, 点P为反比例函数图象上的任意一点，连接PA、PB，求四边形AQBP面积的最小值，

（3）已知，则自变量x为何值时，函数取到最大值，最大值为多少？

20、（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F。

（1）在图中与△BOF相似的三角形有         个；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求的值。

21、（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，

交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，在x轴上找一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。求出这个最小值及点G、H的坐标。

22、（12分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，

BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．

（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；

（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；

（3）连结PQ，求的值．

初中生数学思维风暴活动

九年级试题

参与评分标准

一、选择题：

1、 、 、D、 、C、 、 、  A 

二、填空题：

9、＜4、2、 、 、2、  15、  

16、或

三、解答题：

17、（10分）解：（1）∵BC=，

∴，由0＜≤10，得＜8。----（3分）

（2）由，得，∴（舍去），，

∴AB=5。------------------（3分）

（3），∵＜8，

∴时，有最大值是。----------------------（4分）

故能围成面积比45 m更大的花圃，围法是花圃的长为10，宽为。

18、（12分）解：根据题意得：

-------------（5分），解得．------------------（3）

（分钟）------------------（3分）

答：电车每隔3分钟从车站开出一部．-----------（1分）

19、（12分）(1)   1，  2．--------------  （4分）

（2）解：由题意得，，反比例函数解析式为，----（1分）

连接PO，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N,设点P的坐标为

∴，

当，时的面积最小，解得

∴当x=3时， 

∴四边形AQBP面积的最小值为24。 ------------ （3分）

（3）设 （2分）

当时，∴当x=5时， =8  ∴当x=5时， （ 2分）

20、（12分）解：（1）△BAD；△EAD；△BEC。--------------（3分）

（2）延长AD与BC相交于G，∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，∴∠CBE=∠GAC， ∠BCE=∠ACG=90°， AC=BC，则△ACG≌△BCE

∴BE=AG，而AG=2AD，∴BE=2AD。----------（5分）

（3）连结OD交AC于点H，则OD⊥AC，∴DH∥BC，

∴△DHE≌△BCE，∴ =

设BC=2，则OD=OB=，∴OH=1，DH=，

∴=。---------（4分）

21、（12分）解：（1）设y＝a(x－1)2＋4，将点B（3，0）代入解得：a＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4     ------------------------（4分）

（2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI     -----------①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得

y＝－(2－1)2＋4＝3   ∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D 

∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 

当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）---------（2分）

又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE       ---------------②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

     解得： 

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 --------------（2分）

∴当x＝0时，y＝1  ∴点F坐标为（0，1）

∴----------------③， 又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1），∴------------④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI，

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

      解得： 

过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知： DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。-----------（4分）

22、（12分）解：（1）证明：如图，

∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，

∴四边形OABC是矩形．

∴．

∵E、G分别是AB、CO的中点，

∴

∴四边形AECG为平行四边形.

∴  ……………………………4分

连接OB，

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，

∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，

∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分

（2）如图，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．

此时 ∠AED+∠CEB =90°．

又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．

∴△AED∽△BCE．………………………………8分

∴．

设OA=x，AB=y，则∶=∶，得．…10分

又，即．

∴，解得．

∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分

（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．

由△PCF∽△PEG得， 

∴==AB， =GE=OA，

∴．

在Rt△中，，

即， 又，

∴，  

∴．……………………………………18分