2019年河南省普通高中招生考试试卷含答案

数　学

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．

1. －的绝对值是(　　)

A. －　 　B. 　 　C. 2　 　D. －2

2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为(　　)

A. 46×10－7  B. 4.6×10－7

C. 4.6×10－6  D. 0.46×10－5

3. 如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为(　　)

A. 45°  B. 48°  C. 50°  D. 58°

第3题图

4. 下列计算正确的是(　　)

A. 2a＋3a＝6a  B. (－3a)2＝6a2

C. (x－y)2＝x2－y2  D. 3－＝2

5. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是(　　)

第5题图

A. 主视图相同  B. 左视图相同

C. 俯视图相同  D. 三种视图都不相同

6. 一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　)

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 没有实数根

7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是(　　)

第7题图

A. 1.95元  B. 2.15元

C. 2.25元  D. 2.75元

8. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　　)

A. －2  B. －4  C. 2  D. 4 

9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(　　)

A. 2  B. 4  C. 3  D.  

第9题图

10. 如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为(　　)

第10题图

A. (10，3)      B. (－3，10)     C. (10，－3)      D. (3，－10)

 二、填空题(每小题3分，共15分)

11. 计算：－2－1＝________．

12. 不等式组的解集是________．

13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是________．

14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．

第14题图

15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a.连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为________．

第15题图

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16. (8分)先化简，再求值：(－1)÷，其中x＝.

17. (9分)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.

(1)求证：△ADF≌△BDG；

(2)填空：

①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为________；

②取的中点H，当∠EAB的度数为________时，四边形OBEH为菱形．

第17题图

18. (9分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析．部分信息如下：

a. 七年级成绩频数分布直方图：

第18题图

b. 七年级成绩在70≤x<80这一组的是：

70　72　74　75　76　76　77　77　77　78　79

c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

(1)在这次测试中，七年级在80分以上(含80分)的有________人；

(2)表中m的值为________；

(3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

(4)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

19. (9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)

第19题图

20. (9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．

(1)求A，B两种奖品的单价；

(2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

21. (10分)模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x，y.由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，

得2(x＋y)＝m，即y＝－x＋.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标．

(2)画出函数图象

函数y＝(x>0)的图象如图所示，而函数y＝－x＋的图象可由直线y＝－x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝－x.

第21题图

(3)平移直线y＝－x，观察函数图象

①当直线平移到与函数y＝(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为________；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．

(4)得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为________．

22. (10分)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)观察猜想

如图①，当α＝60°时，的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．

(2)类比探究

如图②，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

23. (11分)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝－x－2经过点A，C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx＋b的解析式．(k，b可用含m的式子表示)

2019河南数学试卷解析

1. B　【解析】一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是它的相反数，故表示数字的点到原点的距离，可得－的绝对值是.

2. C　【解析】数字0.0000046，第一个非0数字前面是6个0，因此运用科学记数法表示正确结果是4.6×10－6.

3. B　【解析】如解图，设CD与BE相交于点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，∵∠E＝27°，∴∠D＝75°－27°＝48°.

第3题解图

4. D　【解析】

6. A　【解析】将一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3转化为一般式为x2－2x－4＝0，∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．

7. C　【解析】根据题意可得，这天销售的矿泉水的平均单价是x＝5×10%＋3×15%＋2×55%＋1×20%＝2.25元．

8. B　【解析】已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，显然对称轴是直线x＝＝1，∴－＝1，解得b＝2，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋4，当x＝－2时，解得y＝－4.

9. A　【解析】∵点O是AC中点，∴OA＝OC，∵AF∥BC，∠FAO＝∠BCO，∠AOF＝∠BOC，∴△AOF≌△COB.则AF＝BC，∴四边形ABCF是平行四边形，由题意可得，OF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴平行四边形ABCF是菱形，则CF＝CB＝3，则DF＝AD－AF＝AD－BC＝4－3＝1，∴在Rt△CDF中，CD＝＝＝2.

第9题解图

10. D　【解析】由题图可得，点D 的横坐标与点A的横坐标相等都是－3，AB＝3－(－3)＝6，∴点D的纵坐标是4＋6＝10，则点D的起始位置的坐标是(－3，10)；把组合图形绕原点O顺时针旋转的角度是90°，如果旋转的次数是4的整数倍时，则点D的对应点回到原来位置(－3，10)，显然70＝68＋2，因此旋转68次时，点D的对应点在点(－3，10)位置，再旋转2次，到点(－3，10)关于原点O的中心对称点(3，－10)位置，组合图形绕原点O顺时针旋转70次，每次旋转90°时，得出点D的对应点坐标是(3，－10)．

11. 　【解析】原式＝2－＝. 

12. x≤－2　【解析】解不等式≤－1，得x≤－2，解不等式－x＋7＞4，得x＜3，因此不等式组的解集是x≤－2.

13. 　【解析】列表如下：

第1个袋子

14. π＋　【解析】如解图，过点D作DE⊥OB，垂足为点E，∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠DAO＝30°，∵OC⊥OA，∴OD＝AO·tan30°＝2×＝2，∴S△AOD＝AO×OD＝×2×2＝2，∵∠DOB＝∠AOB－∠AOD＝30°，∴S扇形COB＝＝π，在Rt△ODE中，DE＝OD×＝1.S△ODB＝×2×1＝，∴阴影部分的面积＝S扇形COB＋S△AOD－S△ODB＝π＋2－＝π＋.

第14题解图

15. 或　【解析】(1)如解图①，点B′落在矩形ABCD的边CD上，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，因此EC＝a，B′E＝BE＝a，AB′＝AB＝1，AD＝BC＝a，易得△B′EC∽△AB′D，∴＝，则＝，∴B′C＝a2，在Rt△B′EC中，利用勾股定理得，B′E2＝B′C2＋EC2，∴(a)2＝(a2)2＋(a)2，由于a是正数，则()2＝(a)2＋()2，解得a＝；(2)如解图②，点B′落在矩形ABCD的边AD上，直接得出四边形ABEB′是正方形，∴a＝1，则a＝，显然点B′只能落在矩形ABCD的两条边CD或AD上，不可能在边AB或BC上(点B′与两点B，E不可能在同一条直线上)，故a的值为或.

图①                      图②

第15题解图

16. 解：原式＝÷

＝·(4分)

＝.(6分)

当x＝时，原式＝＝.(8分)

17. (1)证明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠C＝45°.

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADF＝∠BDG＝90°.

∴∠DBA＝∠DAB＝45°.

∴AD＝BD.(3分)

∵∠DAF和∠DBG都是所对的圆周角，

∴∠DAF＝∠DBG.

∴△ADF≌△BDG(ASA)；(5分)

(2)解：① 4－2；(7分)

【解法提示】∵点E是的中点，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEG＝90°，∴AG＝AB＝4，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AB是半圆O的直径，∠DAB＝45°，∴AD＝AB·cos 45°＝2，∴DG＝AG－AD＝4－2，由(1)知DF＝DG，∴DF＝4－2.

②30°.(9分)

【解法提示】∵四边形OEBH为菱形，∴BE＝OB，∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠EAB＝30°.

18. 解：(1)23；(2分)

(2)77.5；(4分)

【解法提示】∵共有50名学生，∴把七年级学生的成绩由低到高排列，中位数应是第25名和第26名学生成绩的平均数，这两名学生的成绩分别为77，78，∴七年级成绩的中位数为＝77.5.

(3)甲的排名更靠前．∵甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数，而乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数，∴甲的排名更靠前；(6分)

(4)400×＝224(人)．

答：估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224.(9分)

19. 解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55，

∴AC＝≈≈82.1 m.

∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1 m．(4分)

在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，

∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7 m．(7分)

∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51 m.

答：炎帝塑像DE的高度是51 m．(9分)

20. 解：(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，(1分)

根据题意，得解得

答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；(4分)

(2)设购买A奖品a个，则购买B奖品(30－a)个，共需w元，

根据题意，得w＝30a＋15(30－a)＝15a＋450.(6分)

∵15＞0，∴当a取最小值时，w有最小值．

∵a≥(30－a)，解得a≥7.5.

而a为正整数，∴当a＝8时，w取得最小值，此时30－8＝22.

∴当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱．(9分)

21. 解：(1)一；(1分)

(2)如解图；

第21题解图

(3)①8；

【解法提示】将点(2，2)代入y＝－x＋中，得m＝8.(4分)

②直线与函数y＝(x＞0)的图象交点还有两种情况；

当有0个交点时，周长m的取值范围是0＜m＜8；

当有2个交点时，周长m的取值范围是m＞8.(8分)

(4)m≥8.(10分)

22. 解：(1)1，60°；(2分)

【解法提示】∵∠ACB＝60°，∠APD＝60°，AC＝BC，AP＝PD，∴△ACB与△APD都是等边三角形，∴AC＝AB，AP＝AD，而∠CAP＝∠CAB－∠PAB＝∠PAD－∠PAB＝∠BAD，∴△APC≌△ADB(SAS)．BD＝CP，∴＝1；∵△APC≌△ADB.∴∠ACP＝∠ABD，设CP与BD的延长线交于点I，如解图①，∴∠CIB＝180°－∠PCB－∠CBD＝180°－(60°－∠ACP)－(60°＋∠ABD)＝60°＋∠ACP－∠ABD＝60°，∴直线BD与直线CP所在直线的夹角等于60°.

第22题解图①

第22题解图②

(2)，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(4分)

理由如下：

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∵∠CAB＝45°，＝.

同理可得：∠PAD＝45°，＝，

∴＝，∠CAB＝∠PAD.

∴∠CAB＋∠DAC＝∠PAD＋∠DAC.

即∠DAB＝∠PAC.

∴△DAB∽△PAC.(6分)

∴＝＝，∠DBA＝∠PCA.

设BD交CP于点G，BD交CA于点H.如解图②，

∵∠BHA＝∠CHG，

∴∠CGH＝∠BAH＝45°；(8分)

(3)的值为2＋或2－.(10分)

第22题解图③

第22题解图④

【解法提示】分两种情况：如解图③，可设CP＝a，则BD＝a.设CD与AB交于点Q，则PQ＝CP＝a.可证∠DQB＝∠DBQ＝67.5°，则DQ＝BD＝a，易得AD＝PD＝2a＋a，∴＝2＋；如解图④，可设AP＝DP＝b，则AD＝b，由EF∥AB，∠PEA＝∠CAB＝45°，可证∠ECD＝∠EAD＝22.5°，易得CD＝AD＝b，CP＝b＋b，∴＝2－.

23. 解：(1)∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点C，

∴A(－4，0)，C(0，－2)．

∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A，C，

∴　∴

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2；(3分)

(2)①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2＋m－2)．

当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：

(i)当∠CPM＝90°时，如解图①，PC∥x轴，m2＋m－2＝－2.

解得m1＝0(舍去)，m2＝－2.

∵当m＝－2时，×(－2x－2)2＋×(－2)－2＝－2，

∴点P的坐标为(－2，－2)．(5分)

第23题解图①

第23题解图②

(ii)当∠PCM＝90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，如解图②，

∴∠CNP＝∠AOC＝90°.

∵∠NCP＋∠ACO＝∠OAC＋∠ACO＝90°，

∴∠NCP＝∠OAC.

∴△CNP∽△AOC.

∴＝.

∵C(0，－2)，N(0，m2＋m－2)，

∴CN＝m2＋m，PN＝m.

即＝.解得m3＝0(舍去)，m4＝6.

∵当m＝6时，×62＋×6－2＝10，

∴点P的坐标为(6，10)．

综上所述，点P的坐标为(－2，－2)或(6，10)；(8分)

②直线l的解析式为y＝x－2或y＝x－2或y＝x－m－2.(11分)

【解法提示】△BB′M的三条中位线所在的直线，每条都满足点M、B、B′到该直线的距离都相等．如解图③，

(i)将B(2, 0)、M(m，－m－2)两点分别代入y＝kx＋b，得

解得k＝.此时直线l的解析式为y＝x－2.

(ii)将B′(－2, －4)、M(m，－m－2)两点分别代入y＝kx＋b，得

解得k＝，此时直线l的解析式为y＝x－2.

(iii)因为直线BC的斜率k＝1，BM的中点为D(m＋1，－m－1)，将点D代入y＝x＋b，得b＝－m－2.此时直线l的解析式为y＝x－m－2.

第23题解图③