2021-2022学年浙江省宁波市海曙区九年级(上)期末数学试题及答案解析

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.台球盒中有个红球与个黑球，从中随机摸出一个台球，则下列描述符合的是(    )

A. 一定摸到黑球 B. 不可能摸到黑球 C. 很可能摸到黑球 D. 不大可能摸到黑球

2.已知抛物线，其对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

3.图中所示的中，、分别在边、上，，，，，则(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

4.如图是一段索道的示意图．若米，，则缆车从点到点上升的高度的长为(    )

5.如图，是的直径，是弦，，则的度数是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

6.如图，在中，，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，若，则的值是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

7.如图，、在圆形方格网横线上，点、是直径与网格横线的交点，则：：为(    )

A. ：：

B. ：：

C. ：：

D. ：：

8.若二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是(    )

A. 当时，

B. 当时，有最大值

C. 图象经过点

D. 当时，

9.如图，将个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为，则大正五边形边长为(    )

A.  B.  C.  D. 

10.如图，四边形中，，，以为直径的刚好与相切，连结、交于点，若，则已知下列条件中的一个即可求的长的有(    )

；；；．

A. 、、、 B. 、、

C. 、、 D. 、、

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.若，则______．

12.小明随意抛掷一枚点数从，质地均匀的正方体骰子，前面次中有次点朝上．则执第次时，点朝上的概率为______．

13.如图，将直径的半圆，绕端点逆时针旋转，当圆弧与直径交点满足：：时，的值为______．

14.在芯片制作过程中，需要对，的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“”的形式，其中为竖式矩形，为横式矩形，则芯片被利用区域的长的值为______．

15.如图，已知距离为的两条平行线，与分别交于，两点为直径，且与不垂直，为上一点，过作的平行线交于点，若，，则的长为______．

16.如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：．

18.本小题分

在一个不透明的口袋里装有分别标注、的两个小球小球除数字外，其余都相同，另有背面完全一样、正面分别写有、、的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：

共有多少种结果？请用列表或者画树状图的方法表示说明

小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：

若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；

若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．

小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由．

19.本小题分

如图，在的正方形方格纸中，的顶点在格点上．

直接写出______．

仅用直尺，画出的平分线，并写出______．

定义：若抛物线与抛物线同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．

已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；

如图，将一副边长为的正方形七巧板拼成图的形式，若以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，设经过点，，的抛物线为，经过、、的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．

21.本小题分

如图，扇形圆心角，半径，把扇形做成圆锥后，其底面半径为．

求；

点是上的一点，若，求．

如图，已知是半圆的直径，是半圆弧上一点，是的中点，交延长线于点．

求证：为的切线；

若，，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点在轴正半轴上．

求抛物线的解析式；

求点的坐标；

为线段上一点，，作轴交抛物线于点，求的最大值与最小值．

如图，在正方形中，点是边上一点，点为边上一点，交于点，已知，设，．

请直接写出______，______，______用或相关的代数式表示；

作分别交、于、如图，求的长；

连结，若，求的最小值；

在的条件下，请直接写出的最小值时，______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：台球盒中有个红球与个黑球，从中随机摸出一个台球，

A.不一定摸到黑球，故A不符合题意；

B.可能摸到黑球，故B不符合题意；

C.摸到黑球的可能性小，故C不符合题意；

D.不大可能摸到黑球，符合题意；

故选：．

根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．

本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，

抛物线对称轴为直线，

故选：．

由抛物线顶点式直接求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

3.【答案】 

【解析】解：，

∽，

，

，，，

，

解得，，

故选：．

根据，可以得到∽，然后根据相似三角形的相似比相等，即可求得的长．

本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．

4.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，

，

，

米，

米，

故选：．

在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果．

此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．

5.【答案】 

【解析】解：是直径，

，

，

，

，

故选：．

求出，利用圆周角定理，可得结论．

本题考查圆周角定理，解题的关键是圆周角定理，属于中考常考题型．

6.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，

，，

，

，

，

，

故选：．

由旋转的性质可得，再根据平行线的性质，得，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．

本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，如图：

，

，

，

∽∽，

：：：：：：，

故选：．

要求：：的值，想到构造这三条线段所在的三角形相似，所以过点作，垂足为，可得∽∽，然后利用相似三角形的性质即可解答．

本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，经过点，，

抛物线对称轴为直线，

当时，，选项正确，不符合题意．

当时有最大值，选项正确，不符合题意．

图象经过，抛物线对称轴为直线，

抛物线经过点，选项正确，不符合题意．

当或时，，选项D错误，符合题意．

故选：．

右抛物线开口方向，经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

9.【答案】 

【解析】解：在正五边形中，，

将个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，

，

如图，作的平分线交于，

，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

，

，

，

，

，

故选：．

根据多边形的内角和定理得到，等量代换得到，如图，作的平分线交于，根据相似三角形的性质即可得到结论．

本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于点．

，

∽，

，

欲求，只要求出，，即可．

已知，，可以求出，，故符合题意，

当的值已知，可以求出：：，可以求出，，，故符合题意．

当的值已知，可以求出：：，可以求出，，，故符合题意．

故选：．

延长交的延长线于点由，推出，欲求，只要求出，，即可，由此即可判断．

本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，

11.【答案】 

【解析】解：设，则，，

所以，

故答案为：．

设，根据比例的性质得出，，把，代入，再求出答案即可．

本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，本题运用了设“”法．

12.【答案】 

【解析】解：掷一颗均匀的骰子，一共有种等可能的情况，其中点朝上只有一种情况，

所以点朝上的概率为．

故答案为：．

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

符合条件的情况数目；

全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

13.【答案】 

【解析】解：连接，

：：，

设，，

，

由旋转得：

，

是半圆的直径，

，

，

，

故答案为：．

根据已知设，，可表示出和的长，然后利用直径所对的圆周角是直角证明，最后利用勾股定理求出即可解答．

本题考查了解直角三角形，旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，，

，

，，

，

，

故答案为：．

根据已知条件，，求得，由图知，，于是得到，即可得到结论．

本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，交于点，

，

，

，，

，

设，则，

，

，

解得，

，，

是的直径，

，

，

，

，

，

∽，

，

在中，，，

，

，

，

在中，，，

．

答：的长为．

故答案为：．

过点作于点，交于点，可得，根据，可得，设，则，计算可得，，由∽和勾股定理即可解决问题．

本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到∽．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交于点和点两点，

当时，，

解得或，

，，

，

当时，，

，

，，，

，

，

，

，

，

作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，

，

，

，

，

设直线的解析式为，

把的坐标代入得，，

，

直线的解析式为，

解得或，

点的坐标为，

故答案为：

由抛物线的解析式求得、、的坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，根据轴对称的性质得出，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的逆定理等，证得是解题的关键．

17.【答案】解：原式 

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

18.【答案】解：列表如下： 

由表知，共有种等可能结果，其中和为奇数的有种结果，积为奇数的有种结果，

所以按规则小方获胜的概率为，

按规则小方获胜的概率为，

，

小方应选择规则． 

【解析】利用列表法可得所有等可能结果；

从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案．

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．

19.【答案】  

【解析】解：如图，，

故答案为：；

如图，射线即为所求，．

利用网格特征，寻找直角三角形解决问题即可；

取格点，连接，取的中点，作射线．

本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：，

，，，

抛物线与是一对共轭抛物线，

，且，

．

由题意可得，，则，

，，，，

点为的中点，

，

，，，，，

可设抛物线，与抛物线，

，，

解得：，，

抛物线，

抛物线，

，，，

，且，

，，

满足且，

、是一对共轭抛物线． 

【解析】将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；

根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．

本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．

21.【答案】解：设， 

根据题意得，

解得，

所以为；

过点作于，如图，

，

，

，

，

． 

【解析】设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可；

过点作于，如图，先利用含度的直角三角形三边的关系求出，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算．

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

22.【答案】证明：连接，交于点，

是的中点，

，，

，

，

，

是圆的半径，

为的切线；

解：是半圆的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

在中，，，

． 

【解析】要证明为的切线，想到连接，只要证明即可，根据已知是的中点，利用垂径定理可得，然后根据，证明同位角相等即可；

利用直径所对的圆周角是直角可得，根据，可得，然后在中求出，再在中，求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

23.【答案】解：抛物线的顶点在轴正半轴上，

设抛物线的解析式为，

把点、代入中可得：

，

解得：舍去或，

，

抛物线的解析式为：；

把代入中可得：

，

，

点的坐标为；

设的解析式为：，

把点、代入中可得：

，

解得：，

的解析式为：，

点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，

当时，，，

，

当时，，，

，

当时，，，

，

设，，

，

当时，的最大值为：，

的最大值是，最小值是． 

【解析】根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；

把代入中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；

先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．

本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．

24.【答案】       

【解析】解：四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

，

过点作于，如图所示：

则四边形为矩形，

，

，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

故答案为：，，；

，

，

，

，

，

，

四边形是正方形，

，

，

≌， 

；

四边形是正方形，

，，

连接，如图所示：

，，

∽，

，

由得：，

在中，由勾股定理得：，

，

，

，，

，

，

，

，

∽，

，

，

点是在以为圆心，为半径的弧上，

当、、三点共线时，最小，

此时，；

如图所示：

的最小时，，

，

，

由得：，

是等腰直角三角形，，

，

，，

∽，

，

，

由得：，

，

解得：，

，

，

故答案为：．

由正方形的性质和三角形内角和定理得出，再由平角定义即可得出，然后由平行线的性质得出，过点作于，则四边形为矩形，得出，证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出；

证明≌，即可得出；

证∽，得，由得：，再证∽，得，然后证点是在以为圆心，为半径的弧上，则当、、三点共线时，最小，即可求解；

的最小时，，则，证∽，得，则，再由得：，然后求出，即可求解．

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积计算等知识；本题综合性强，证明点为中点时，最短是解题的关键．