考研试题[线性代数部分]

05年

一、选择题

（１１）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是，则线性无关的充分必要条件是（　　　　　）。

（A）          （B）　　　　（C）        　　　（D）

（１２）设A为ｎ阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B，分别是矩阵A，B的伴随矩阵，则（　　　）。

（A）交换的第一列与第二列得    　（B）交换的第一行与第二行得

    （C）交换的第一列与第二列得－    　（D）交换的第一行与第二行得－

二、填空题

（５）设是三维列向量，记矩阵，，如果，则　　　　。

三、解答题

（２０）已知二次型的秩为２．

①求的值；②求正交变换，把二次型化成标准形；③求方程的解．

（２１）已知３阶矩阵A的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解．

06年

一、选择题

（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是

    （A）若线性相关，则线性相关.

    （B）若线性相关，则线性无关.

    （C）若线性无关，则线性相关.

（D）若线性无关，则线性无关.                【    】

（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的－1倍加到第2列得，

记，则

（A）  （B）  （C）      （D）　【    】

二、填空题

（4）点到平面的距离=         ．　　（数一）

（4）已知为2维列向量，矩阵，。若行列式，

则=　　　　　　．　　　　（数四）

（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=　　　.

三、解答题

20 已知非齐次线性方程组

Ⅰ 证明方程组系数矩阵A的秩       Ⅱ 求的值及方程组的通解．（数一）

20．设4维向量组，，，，问为何值时线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。（数四）

21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量  (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵∧，使得.

07年

一、选择题

（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（　　　　）．

（A）．　　　（B）　．

（C）．　　（D）　．

（８）设矩阵，．则A与Ｂ（　　　）．

（A）合同，且相似　（B）合同，但不相似　（C）不合同，但相似　（D）即不合同，也不相似

二、填空题

（１５）设矩阵，则的秩为　　　　．

三、解答题

（２１）（１１分）设线性方程组  ①   与方程　　②

有公共解，求的值及所有公共解．

（２２）（１１分）设３阶对称矩阵A的特征值，是A的属于特征值的一个特征向量，记，其中E为３阶单位矩阵．

⑴　验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．    ⑵　求矩阵B．

08年

一、选择题

（5） 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若，则（     ）。

（A）  不可逆，不可逆．　　　（B）　　不可逆，可逆．

（C）　可逆，可逆．　　　　　（D）　　可逆，不可逆．

（６）设A为３阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（　　　　）．（图形为单叶双曲面）

（A） ０ ．　　　（B）　１　．　（C）　２．　　　　（D）　３．　　（数一）

（６）设，则在实数域上与A合同的矩阵为（　　　）

（A）　（B）　　　（C）　　（D）　．（数四）

二、填空题

（１1）设A为２阶矩阵，为线性无关的二维列向量，，，则A的非零特征值为　　　　　．（数一）

（１2）设３阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式，则　　　．（数四）

（１３）设３阶矩阵A的特征值1，2，2，则      ．　　（数三）

三、解答题（２０）（１１分）， 

⑴　证　；　　　　　⑵　（数一）

（２１）（１１分）设矩阵，现矩阵A满足方程，其中，．      ⑴　求证：；    ⑵　为何值时，方程组有唯一解，求；

⑶　为何值时，方程组有无穷多解，求通解．              （数一）（数四的２０题）

（２１）（１１分设A为３阶矩阵，为A的分别属于－１，１的特征向量，向量满足．　　　

⑴　证明线性无关；⑵　令，求．       （数四的２１题）

09年

数学一

一、选择题

（5） 设是三维向量空间的一组基，则由基  到基

的过渡矩阵为（    ）。

（A）  （B）  （C）   （D）

二、填空题

三、解答题

；

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数学二

一、选择题

二、填空题

三、解答题

  ；

。

数学三

一、选择题

二、填空题

二、解答题

  ；

。