实验报告14数学建模

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实验十四：计算机模拟

1.某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为

解答：

【1】模型假设：

（1） 模拟时间充分大；

（2） 报童购买报纸量介于销售量最小值与最大值之间；

（3）不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期.

【2】 符号假设

BUYMIN：每天的最小购买量              

BUYMAX：每天的最大购买量

SIMUDAY：模拟时间

sell_amount：报童销售量            

buy_amount： 报童购买量

percentage：销售百分率             

ave_profit：总平均利润

loop_buy  ：当天购买量             

loop_day  ：当天时间

【3】matlab程序如下：

(1)首先建立m文件Getprofit.m

function re=GetProfit(a,b)

if a    re=a*(0.05-0.03);                   

else   %  供过于求：报童购买量大于销售量

    re=b*(0.05-0.03)+(a-b)*(0.02-0.03); 

end

（2）建立主程序main.m

BUYMIN=200;   %  每天的最小购买量

BUYMAX=250;   %  每天的最大购买量

SIMUDAY=1.0e+5;                %  模拟时间

sell_amount=200:10:250;       %  销售量

percentage=[0.1 0.3 0.7 0.85 0.95 1];  %  百分率

buy_amount=0;

ave_profit=0;

for loop_buy=BUYMIN:BUYMAX

    sum_profit=0;

    for loop_day=1:SIMUDAY

index=find(percentage>=rand); % 产生随机数，用于决定当天的销售量

      sum_profit=sum_profit+GetProfit(loop_buy,sell_amount(index(1)));

    end

    buy_amount=[buy_amount,loop_buy];     %  循环嵌套

    ave_profit=[ave_profit,sum_profit/SIMUDAY]; %  循环嵌套

end

buy_amount(1)=[];  %  第一个元素置空

ave_profit(1)=[];

[val,id]=max(ave_profit)    % 显示最大平均收入val

buy=buy_amount(id)    % 显示在平均收入最大情况下的每天的购买量buy

xlabel='每天的购买量';

ylabel='平均利润';

plot(buy_amount,ave_profit,'*:');

【4】运行结果：

val =4.2801    id =21    buy = 220

图像如下：

 【5】结果分析：

该结果说明当报童每天买进报纸数量为220，报童的平均总收入为最大，且最大为4.2801.

2.某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命为1000--2000小时之间的均匀分布。当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四只同时更换。已知更换时间为换一只时需1小时，4只同时换为2小时。更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法决定哪一个方案经济合理？

解答：

【1】模型分析：

有两种方案[1]：ABCD四个灯全部换

                [2]：ABCD四个灯不全换

【2】模型程序

Matlab程序如下

x1=0;

y1=0;%第一种方法用的钱

x2=0;

y2=0;%第二种方法用的钱

ia=0;ib=0;ic=0;id=0;%分别为ABCD灯换的次数

A2=0;B2=0;C2=0;D2=0;%分别为ABCD灯用的总时间

m=50;%试验总次数

i=0;%已经进行试验次数

j=0;%第一种方法占优的次数

percent=0;%第一种方法占优占总次数的百分比

n=100000;%每次试验总时间 

%下面共进行m轮试验比较全部换这种办法（办法1）用n个小时后和不全部换这种办法（办法2）

%坚持同样的时间哪个更经济

while iwhile x1A=unifrnd(1000,2000,1,1);

B=unifrnd(1000,2000,1,1);

C=unifrnd(1000,2000,1,1);

D=unifrnd(1000,2000,1,1);

x=min(D,min(C,min(B,A)));

x1=x1+x;%总时间

y1=y1+2*20+4*10;

if A2    ia=ia+1;A2=A2+A;

end

if B2    ib=ib+1;B2=B2+B;

end

if C2    ic=ic+1;C2=C2+C;

end

if D2    id=id+1;D2=D2+D;

end

end

y1;%输出n个小时后方法1所用的钱

y2=(ia+ib+ic+ic)*20+(ia+ib+ic+ic)*10;%输出n个小时后方法2所用的钱

if y1    j=j+1;%统计第一种办法占优的次数

end

i=i+1;

end

m

j

percent=j/m 

【3】运行结果：

m =

    50

j =

    50

percent =

     1

【4】结果分析

由此可以看出实验了m=50次，第一种办法占优了j=50次，占优率100%改变m或n也可得到类似的结果所以全部更换这种办法更好

3.导弹追踪问题：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5，模拟导弹运行的轨迹.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

解答：

【1】模型建立

假设导弹在时刻的位置为，乙舰位于。由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线就是导弹的轨迹曲线弧在点处时的切线.

即有，即                            (1)

又根据题意，弧的长度为的5倍，即有   (2)

由（1），（2）消去得                      （3）

(3) 令，将方程（3）化成一阶微分方程组

初始条件为

【2】模型程序

Matlab程序如下：

（1）建立m文件eq1.m

function dy=eq1(x,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);

（2）建立主程序

x0=0,xf=0.9999

[x,y]=ode15s('eq1',[x0,xf],[0,0]);

plot(x,y(:,1),'b.')

hold on

y=0:0.01:2;

plot(1,y,'b+')

【3】程序结果

得到图像如图所示

【4】结果分析：

由图像知，道到大概在（1，0.2）处击中乙舰。

4.两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率. 

解答：

【1】模型分析

设x，y分别为甲，乙两船到达时刻（小时），需等待空出码头的条件是

【2】模型程序

Matlab程序如下

(1)建立m文件liti4.m

function proguji=liti4(mm)

frq=0;

randnum1=unifrnd(0,24,mm,1);

randnum2=unifrnd(0,24,mm,1);

randnum=randnum1-randnum2;

proguji=0;

for ii=1:mm

    if randnum(ii,1)<=1&randnum(ii,1)>=-2

        frq=frq+1

    end

end

proguji=frq/mm

（2）再执行程序

liti4(10000)

【3】运行结果

p=0.1995

【4】结果分析：