2020年湖南省永州市中考数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）.

1．（4分）的相反数为　　

A． B．2020 C． D．

2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是　　

A．    注意安全 B．水深危险    

C．必须戴安全帽 D．注意通风

3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是　　

A．人 B．人 C．人 D．人

4．（4分）下列计算正确的是　　

A． B．

C． D．

5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是　　

A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9

6．（4分）如图，已知，，能直接判断的方法是　　

A． B． C． D．

7．（4分）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：

①；

②；

③四边形有外接圆；

④是外接圆的圆心．

其中正确说法的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（4分）如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是　　

A． B．25 C．35 D．63

9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是　　

A．4 B．2 C． D．

10．（4分）已知点，和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．2

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）

11．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　．

12．（4分）方程组的解是　 　．

13．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．

14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是　　平方分米．

16．（4分）已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则　　．

17．（4分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为　　．

18．（4分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：．

20．（8分）先化简，再求值：，其中．

21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中　　，　　，等级所占扇形的圆心角度数为　　．

（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

22．（10分）一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛60海里的处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：，，

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达处，求，之间的距离．

23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元．

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

24．（10分）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）已知，，求，两点之间的距离．

25．（12分）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示．

①求面积的最小值．

②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．

（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求与的函数关系式，并求的最大值．

参

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）

1．（4分）的相反数为　　

A． B．2020 C． D．

解：的相反数为：2020．

故选：．

2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是　　

A．    注意安全 B．水深危险    

C．必须戴安全帽 D．注意通风

解：根据轴对称图形的定义可知：

选项、、中的图形是轴对称图形，

选项不是轴对称图形．

故选：．

3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是　　

A．人 B．人 C．人 D．人

解：635.3万．

则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为人．

故选：．

4．（4分）下列计算正确的是　　

A． B．

C． D．

解：选项的两个加数不是同类项，不能加减；

，故选项错误；

，故选项正确；

．故选项错误．

故选：．

5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是　　

A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9

解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，

所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为，

方差为，

故选：．

6．（4分）如图，已知，，能直接判断的方法是　　

A． B． C． D．

解：，，，

，

故选：．

7．（4分）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：

①；

②；

③四边形有外接圆；

④是外接圆的圆心．

其中正确说法的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

解：，是的两条切线，，为切点，

，所以①正确；

，，

垂直平分，所以②正确；

，是的两条切线，，为切点，

，，

，

点、在以为直径的圆上，

四边形有外接圆，所以③正确；

只有当时，，此时，

是不一定为外接圆的圆心，所以④错误．

故选：．

8．（4分）如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是　　

A． B．25 C．35 D．63

解：，

，

，

．

，即，

．

故选：．

9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是　　

A．4 B．2 C． D．

解：如图，过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，

，

，，

，

左视图矩形的宽为2，

左视图的面积为．

故选：．

10．（4分）已知点，和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．2

解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，

根据点到直线的距离公式可知：点到直线的距离，．

的半径为1，

，

故选：．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）

11．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　．

解：根据题意得，，

解得．

故答案为：．

12．（4分）方程组的解是　　．

解：，

①②得：，即，

把代入①得：，

则方程组的解为，

故答案为：

13．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．

解：由已知得：

△，

解得：．

故答案为：．

14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

解：（人，

即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，

故答案为：480．

15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是　　平方分米．

解：圆锥的侧面积平方分米．

故答案为．

16．（4分）已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则　　．

解：过点作．

，

．

，．

是含角的直角三角形，

．

，

．

故答案为：．

17．（4分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为　6　．

解：正比例函数与反比例函数的图象交点坐标，，，，

轴，轴，

，

，

故答案为：6．

18．（4分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是　　．

解：分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，

此时周长最小，最小值为的长，

连接，，，

、分别为，的垂直平分线，，

，且，，

，

，

过作，可得，，

，，

，

则周长的最小值是．

故答案为：．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：．

解：原式

．

20．（8分）先化简，再求值：，其中．

解：原式

，

当时，

原式．

21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中　15　，　　，等级所占扇形的圆心角度数为　　．

（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

解：（1）被调查的总人数为（人，

等级人数为（人，

补全图形如下：

（2），即，

，即；

等级所占扇形的圆心角度数为，

故答案为：15，5，；

（3）画树状图如下：

共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，

恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．

22．（10分）一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛60海里的处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：，，

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达处，求，之间的距离．

解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：

作于，如图：

则，

由题意得：，，

，，

这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）由（1）得：，，

，

，

在中，（海里）；

答：，之间的距离约为79.50海里．

23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元．

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意有

，

解得，

经检验，是原方程的解，

．

故一次性医用外科口罩的单价是2元，口罩的单价是12元；

（2）设购进一次性医用外科口罩只，依题意有

，

解得．

故至少购进一次性医用外科口罩1400只．

24．（10分）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）已知，，求，两点之间的距离．

【解答】证明：（1）如图，连接，，

，

，

是直径，

，

为的中点，

，

，

与相切于点，

，

，

，

，

又为半径，

是的切线；

（2），，

，

，

，

，

，

为的中点，，

，

，两点之间的距离为．

25．（12分）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示．

①求面积的最小值．

②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为，

在等腰中，垂直平分，且，

，

，，，

，

解得，，

抛物线的解析式为；

（2）①设直线的解析式为，，，，，

由，可得，

，，

，

，

，

当时取最小值为4．

面积的最小值为4．

②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，

，即，

解得，，，，，

，不合题意，舍去，

当时，点，

线段的中点为，

，

，

直线的表达式为：，

当时，点，，

线段的中点为，，

，

，

直线的解析式为．

综上，直线的解析式为或．

26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．

（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求与的函数关系式，并求的最大值．

解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，

（2）分别过，于点，如图，

，

两纸条等宽，

，

，

，

两纸条都是矩形，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形；

时，重叠部分为三角形，如图所求，

，

，

时，；

，

，

时，；

时，重叠部分为五边形，如图所求，

，

；

时，重叠部分为菱形，如图所求，

，

综上，与．

故的最大值为．