广州培正中学2012届高三11月月考(理数)

数学（理科）测试卷

参考公式：．

一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 

1. 在复平面内，复数对应的点位于(　　)

A．第一象限      B．第二象限

C．第三象限      D．第四象限

2.已知条件，条件，则成立的(     )

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既非充分也非必要条件

3. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：

4. 右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩

数据的平均数和方差分别为（    ）

A．84，4.84               B．84，1.6

C．85，1.6                D．85，4

5. 等差数列前17项和，则

A. 3                B. 6                    C.    17              D. 51

6. 若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为                                                                  (　　)

A．8          B．12       C．16        D．20

7.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是(　　)

A．5       B．6      C．7       D．8

8. 在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（    ）

A．1-         B．1-        C．1-             D．1- 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．双曲线的离心率为          . 

10.设函数为奇函数，则        ． 

11.在二项式的展开式中，的一次项系数是，

则实数的值为             ．

12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________．

13. 已知的三边长为，内切圆半径为

（用），则；

类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，

则三棱锥体积               ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）

14.（坐标系与参数方程选做）

在极坐标系中，点到直线的距离为         ． 

15.（几何证明选讲选做题）

如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，

，若⊙O的半径为，OA=OM ，则MN的长为        ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本题满分12分）

已知函数的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.

17.（本题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，

他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望. 

18．（本小题满分14分）

如图，、为圆柱的母线，是

底面圆的直径，、分别是、的中

点，．

（1）证明：；

（2）求四棱锥与圆柱的体积比；

（3）若，求与面所成角的正弦值．

19.（本题满分14分）

,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.

(1)求数列,的通项公式;

(2)记=,求数列的前项和.

20.（本题满分14分）

已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．

⑴求、的值；

⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．

21.（本题满分14分）

已知函数, ,和直线： .

又.  

(1)求的值；

(2)是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.

(3)如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.

参

一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

2．【解析】B p：，q：或，故q是p成立的必要不充分条件，故选B.

3．【解析】选D  直线是均匀的，故选项A不是；指数函数是单调递减的，也不符合要 求；对数函数的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.

4．【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.

5．A

6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．

7．【解析】答案：C  依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.

又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：      解得a＝7.

8．【解析】B；若使函数有零点，必须必须，即．

在坐标轴上将的取值范围标出，有如图所示

当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．

于是概率为．

二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）

9．       10．             11．1         12．7500   

   13．   14．        15．2

11．【解析】1；由二项式定理，．

当时，，于是的系数为，从而．

12．【解析】由题知，s＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.

13．【解析】：连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积。答案: 

14．【解析】直角坐标方程 x+y﹣2=0，d==

15．【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,

∵BM·MN=CM·MA=(+2)( -2)=8，∴MN=2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本题满分12分）

解:(1)由图像知, ,∴,得.

由对应点得当时,.∴;……………5分

(2) 

    =,……………9分

∵,∴,………………10分

∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.………………12分

17．（本题满分12分）

解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

     则.                        ……………3分

（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.

                ………………6分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.

（2）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量的可能值为0，30，60，90，120.             ………………7分

        ………10分

 所以，随机变量的分布列为：    

  ………13分

18.（本小题满分14分）

解：（1）证明：连结，.分别为的中点，∴. 

又，且.∴四边形是平行四边形，

即. ∴.    ……………4分

（2）由题，且由（1）知.∴，

   ∴ ，∴. 

因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，

则，

∴：.  ………………………9分

（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图

设，则，，，从而，

，由题，是面的法向量，设所求的角为. 

则. …………………14分

解二：作过的母线，连结，则是上底面圆的直径，连结，

得，又，∴，连结，

则为与面所成的角，设，则

，.……12分

在中，．………………14分

19．（本题满分14分）

解：(1)由.且得        ……………   2分

,                    ……………  4分 

在中,令得当时,T=,

两式相减得,     …………… 6分

.                ……………   8分

(2), ………………     9分

,,

                                    ……………  10分

=2

=,        ………………13分

       ……………    14分      

20．（本题满分14分）

⑴依题意，：……1分，不妨设设、（）……2分，

由得，……3分，所以……5分，

解得，……6分．    

⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为……14分．………………14分

21．（本题满分14分）

解：（1）,因为所以=－2.   …………2分

  (2)因为直线恒过点（0，9）.先求直线是的切线.

设切点为, …………3分

∵.∴切线方程为,

将点（0，9）代入得.

当时，切线方程为=9, 当时，切线方程为=.

由得，即有

当时，的切线，

当时，的切线方程为…………6分

 是公切线，又由得或，

当时的切线为，当时的切线为，

，不是公切线， 综上所述时是两曲线的公切线  ……7分

 (3).（1）得，当，不等式恒成立，.

当时，不等式为，……8分

而

当时，不等式为，  

当时,恒成立，则          …………10分

（2）由得

当时，恒成立，，当时有 

设=，

当时为增函数，也为增函数

要使在上恒成立，则         …………12分

由上述过程只要考虑，则当时=

在时，在时

在时有极大值即在上的最大值，…………13分

又，即而当,时，

一定成立，综上所述.    …………14分