江苏省2021届高考模拟试题新高考数学样卷

高三数学题

第I 卷(选择题共60分)

一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知集合A={x|x 2<1}, 集合B= {x||og 2x<0}, 则A∩B 等于( ) A. (0,1)

B. (-1,0)

C. (-1,1)

D.(-∞,1)

2.复数21i

z

i

−=

+付应的点在复平面内位于( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 在△ABC 中,内角A, B, C 的对边分别是a, b,c,若2

2

,sin C a b B −==,则A 等于( )

.

6

A π

.

3

B π

2.

3

C π

5.

6

D π 4. 已知*

111,()(),n n n a a n a a n +==−∈N 则数列{a n }的通项公式是( )

A. a n =n

2.n C a n =

.21n D a n =−

5. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(0)=0, 当x<0时, f(x)单调递增. 若实数a 满足|1|

(3)(),3

a f f −+>−

则a 的取值范围是( )

31.(,)22A −−

31

.(,)(,)22B −∞−⋃−+∞

42.(,)33

C −−

42

.(,)(,)33

D −∞−⋃−+∞

6.已知函数

()cos()(0,0f x A x A ωϕω=+>>||)2

π

ϕ<

的图象如图所示,若函数()() 1h x f x =+的两个不同零

点分别为X 1, X 2,则|X 1-X 2|的最小值为( )

2.

3

A π

.

2

B π

4.

3

C π D.π

7.已知点O 是△ABC 内部一点,且满足0,OA OB OC ++=又23,AB AC BAC ⋅=∠=60°,则△OBC 的面积为

( )

2

A B.3 C.1 D.2

8.抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F,已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点.且满足∠AFB=120°,过弦AB 的

中点M 作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则

MN

AB 的最大值为( )

B.1

.3

C

3

D 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9. “存在正整数n,使不等式(r (3)(5)lg (01)a

n lga n a

a +>+<<成立”的一个充分条件是( )

2.03

A a <<

2

.13

B a <<

15.36C a <<

25

.36D a << 10. 在下列函数中,最小值是2的函数有( )

221

.

()A f x x x

=+

1.()cos (0)cos 2

B f x x x x π=+<<

2.

()C f x =

4.

()33

2x x D f x =+

− 11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品, 设事件A 为“是一等品”, B 为“是合格品”,C 为“是不合格品”,则下列结果正确的是()

7.()10

A P

B =

9.()10

B P A B +=

C. P(AB)= 0

D. P(A+ B)= P(C)

12. 已知函数f(x)=xln x, 若0()()2112. A x f x x f x <

()()1122. B x f x x f x +<+

1212

()()

.

0f x f x C x x −<−

D. 当ln x>-1时,112221()()2()x f x x f x x f x +>

第II 卷(非选择题共90分)

三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 已知定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x) =log 2x-3x, 则f(-1)=____. 14.点A,B,C,D 在同一球面上

,2AB BC AC ===,若球面的表面积为

25,4

π

则四面体ABCD 体积的最大值为_______.

15.

已知向量2

((sin , cos ),x cos x x ==，m n

则函数()f x =mn ___, 单调递增区间为_______(本题第一空2分,第二空3分)

16. 设F 为双曲线C:22

221(0,0)x y a b b

a −=>>的右焦点,过F 且斜率为a

b 的直线1与双曲线C 的两条渐近线分

别交于A, B 两点,且||2||,AF BF =则双曲线C 的离心率为______. 四､解答题(本大题共6小题,共70分)

17. (10分)在公差不为0的等差数列{a n }中,a 1, a 3, a 9成公比为a 3的等比数列,又数列{}n b 满足2,21,

2,=2n

n

a n k

b n n k

=−⎧=⎨⎩*.k ∈N

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前2n 项和2n T .

18. (12分)在锐角△ABC 中, a, b, c 为内角A, B, C 的对边,且满足()2 0c a cos B bcosA −−=. (1)求角B 的大小;

(2)已知c=2, AC 边上的高,7

BD =求△ABC 的面积.

19.(12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D −中,AA 1=1,底面ABCD 的周长为4, E 为1BA 的中点. (1)判断两直线1EC 与AD 的位置关系,并给予证明;

(2)当长方体,1111ABCD A B C D −的体积最大时,求直线1BA 与平面1ACD 所成的角θ.

20. (12 分)(2020.徐州模拟)已知椭圆22221:1(0)a b x y C a b +=>>和椭圆2

22:12

x y C +=的离心率相同,且点

在椭圆1C 上.

(1)求椭圆1C 的方程;

(2)设P 为椭圆2C 上一点,过点P 作直线交椭圆1C 于A,C 两点,且P 恰为弦AC 的中点,则当点P 变化时,试问△AOC 的面积是否为常数,若是,求出此常数,若不是,请说明理由.

21.(12分)当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.目前,国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》,以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲,无疑将对体美育提出刚性要求.为激发学生加强体育活动,保证学生健康成长,某校开展了校级排球比赛,现有甲乙两人进行比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

1

(),2

p p >且各局胜负相互.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5.9

(1)求p 的值;

(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X 的概率分布和均值E(X).

22. (12 分)函数

1()ln (0,)x f x x a a ax −=+

∈≠且R ()(1)().1

x g x b x xe b x

=−−−∈R (1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当a=1时,若关于x 的不等式f(x) +g(x)≤- 2恒成立,求实数b 的取值范围.

江苏省2021届高考模拟试题样卷（供各市各校参考）

高三语数学题答案精析

1．A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7．C [因为O A →＋O B →＋O C →＝0，所以O 为△A B C 的重心，

所以△O B C 的面积是△A B C 面积的13，

因为A B →·A C →＝23

，所以|A B →|·|A C →|c o s ∠B A C ＝23，因为∠B A C ＝60°，所以|A B →|·|A C →|

＝43，所以S △A B C

＝12|A B →|·|A C →|s i n ∠B A C ＝3，所以△O B C 的面积为1.]

8．D [如图所示，过A ，B 分别作准线的垂线A Q ，B P ，垂足分别为Q ，P ，

设A F ＝a ，B F ＝b ，由抛物线的定义，得

A F ＝A Q ，

B F ＝B P ，

在梯形A B P Q 中，2M N ＝A Q ＋B P ＝a ＋b ，

由余弦定理得A B 2

＝a 2

＋b 2

－2a b c o s 120°＝a 2

＋b 2

＋a b ，整理得A B 2

＝(a ＋b )2－a b ，因为a b ≤a ＋b 2

()

2

，则(a ＋b )2

－a b ≥(a ＋b )2

－

a ＋

b 2

()

2＝34(a ＋b )2

，

即A B 2≥34

(a ＋b )2

，

所以A B 2

M N

2

≥34 a ＋b

214

a ＋

b 2＝3，

所以

A B

M N

≥3，即M N

A B ≤33，当且仅当a ＝b ，

即A F ＝B F 时取等号，故选D .]

9．B D [由(n ＋3)l g a >(n ＋5)l g a a

(0a (n ＋5)l g a (0∴l g a <0，∴n ＋3即a >n ＋3n ＋5＝1－2n ＋5

，

若存在正整数n ，使a >1－2

n ＋5

，需a >1

－2

n ＋5

(

)

m i n

，当n ＝1时，1－

2n ＋5

取最小值2

3，

∴a >2

3

，又a <1，

∴a 的取值范围为a 23易知选项B D 是a 23

的子集．]

10．A D [由题意，对于A 中，

函数f (x )＝x 2＋1x

2≥2

x 2·1x

2＝2，当且仅当x 2＝1x

2，即x ＝±1时等号成立，

所以函数f (x )的最小值为2；对于B 中，因为0则c o s x ∈(0,1)，

而f (x )＝c o s x ＋1c o s x ≥2c o s x ·1c o s x

＝2，当且仅当c o s x ＝1c o s x

，即c o s x ＝1时等号成立，此时等号不成立，

所以函数的最小值不是2；

对于C 中，函数f (x )＝x 2＋4

x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2

＋3＝1，即x 2

＝－2时取等号，显然不成立；

对于D 中，函数f (x )＝3x ＋43x －2≥23x ·43x －2＝4－2＝2，当且仅当3x ＝43x ，即x ＝l o g 32时等号成立，此时函数f (x )的最小值为2.]

11．A B C [由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，

所以P (B )＝710，P (A )＝210

，P (C )＝110，则P (A ＋B )＝

910，故A ，B ，C 正确，D 错误．]12．A D [设g (x )＝f x x

＝l n x ，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，

则g (x 2)>g (x 1

)，即f x 2 x 2>f x 1 x 1

，∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1

)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ，

∴h ′(x )＝l n x ＋2不恒大于零，B 错误；

f (x )＝x l n x ，

∴f ′(x )＝l n x ＋1不恒小于零，C 错误；

l n x >－1，故f ′(x )＝l n x ＋1>0，函数单调递增，

故(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1

)]＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2

)>0，

即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 2f (x 1)＋x 1f (x 2

)，f x 2 x 2＝l n x 2>f x 1 x 1

＝l n x 1，∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1

)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>2x 2f (x 1

)，D 正确．]13．3

解析因为f (1)＝l o g 2

1－3＝－3，又f (x )为定义在R 上的奇函数，

所以f (－1)＝－f (1)＝3.

14.23

解析依题意A C 2＝B C 2＋A B 2

，所以∠A B C ＝90°，

设A C 的中点为E ，球的半径为R ，

过A ，B ，C 三点的截面圆半径为r ＝A E ＝12

A C ＝1，由球的表面积为

25π4知，4πR 2＝25π4

，解得R ＝54

，因为△A B C 的面积为12

A B ·B C ＝1，所以要四面体A B C D 的体积最大，

则D 为直线D E 与球的交点且球心在线段D E 上，

所以球心到过A ，B ，C 三点的截面的距离为d ＝R 2－r 2＝34，所以D E ＝34＋54

＝2，所以四面体A B C D 体积的最大值为13

×1×2＝23.15．πk π－

π12，k π＋5π12[]，k ∈Z 解析f (x )＝m ·n ＋32＝s i n x c o s x －3c o s 2x ＋32＝12s i n 2x －32

c o s 2x ＝s i n 2x －π3()

，其最小正周期是T ＝2π2＝π；

由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2

，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12

，k ∈Z 即y ＝f (x )的单调递增区间为k π－

π12，k π＋5π12[]，k ∈Z .16．2或

233解析若A F →＝－2B F

→，则由图1可知，渐近线O B 的斜率为－b a

，l ⊥O B ，在R t △O B A 中，由角平分线定理可得

O A O B ＝F A F B ＝2，所以∠A O B ＝60°，∠x O A ＝30°，

所以b a ＝33，e ＝c a ＝1＋b a ()2＝233.若A F →＝2B F

→，则由图2可知，渐近线O B 为△A O F 边A F 的垂直平分线，

故△A O F 为等腰三角形，

故∠A O B ＝∠B O F ＝60°，b a

＝3，e ＝c a ＝1＋b a

()2＝2，即该双曲线的离心率为2或

233.17．解(1)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成公比为a 3的等比数列，

可得a 23

＝a 1a 9，a 3＝a 1a 3，可得(a 1＋2d )2

＝a 1(a 1＋8d )，a 1

＝1，化简可得a 1

＝d ＝1，即有a n ＝n (n ∈N *)．

(2)由(1)可得b n ＝2n ，n ＝2k －1，2n ，n ＝2k ，{k ∈N *.

前2n 项和T 2n ＝(2＋8＋32＋…＋22n －1)＋(4＋8＋12＋…＋4n )

＝2 1－4n 1－4＋12n (4＋4n )＝2 4n －1 3

＋2n (n ＋1)．18．解(1)∵(2c －a )c o s B －b c o s A ＝0，

由正弦定理得(2s i n C －s i n A )c o s B －s i n B c o s A ＝0，

∴(2s i n C －s i n A )c o s B ＝s i n B c o s A ，

2s i n C c o s B －s i n (A ＋B )＝0，

∵A ＋B ＝π－C 且s i n C ≠0，∴c o s B ＝12

，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3

.(2)∵S △A B C ＝12a c s i n B ＝12

B D ·b ，代入c ＝2，B D ＝3217，s i n B ＝32，得b ＝73

a ，由余弦定理得

b 2＝a 2＋

c 2－2a c c o s B ＝a 2＋4－2a ，

代入b ＝

73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3，

b ＝7{或a ＝6，b ＝27，

{又∵三角形为锐角三角形，

∴a 2，∴a ＝3，b ＝7.∴S △A B C ＝12a c s i n B ＝12×2×3×32＝332

.19．解(

1)E C 1与A

D 是相交直线.证明如下：如图，连结A B 1，C 1D ，则A B 1C 1

D 是平行四边形，

∵E 是A B 1的中点，

∴A E ∥C 1D ，A E ＝12

C 1

D ，∴A

E C 1D 为梯形，A ，E ，C 1

，D 四点共面，又E C 1与A D 为梯形的两腰，故E C 1与A

D 相交.(2)设A B ＝b ，A D ＝2－b ，

V A B C D －A 1B 1C 1D 1＝b (2－b )×A A 1

＝b (2－b )≤b ＋2－b 2()

2＝1，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号，方法一连结B D (图略)，设点B 到平面A 1C D 的距离为h ，则根据等体积法V B －A 1C D ＝V A 1

－B C D ，其中S △A 1C D ＝12×C D ×A 1D ＝22，V A 1－B C D ＝13S △B C D ×A A 1＝16，∴h ＝22，则直线B A 1与平面A 1C D 所成的角θ满足s i n θ＝h B A 1＝12

，∵θ∈0，π2[]

，∴θ＝π6.方法二

分别以边A B ，A D ，A A 1所在的直线为x

，y

，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (1,0,0)，A 1

(0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，

B A 1

→＝(－1,0,1)，C D →＝(－1,0,0)，C A 1

→＝(－1，－1,1),设平面A 1

C D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则

n ·C D →＝0，n ·C A 1→＝0，{即－x ＝0，－x －y ＋z ＝0，

{取z ＝1，则n ＝(0,1,1)，

∴s i n θ＝|c o s 〈B A 1→，n 〉|＝12×2＝12，

∵θ∈0，π2[]

，∴θ＝π6.20．解(1)由题意知，2a 2＋1b 2＝1，且c a ＝22，即a 2

＝4，b 2＝2，

所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)是．①当直线A C 的斜率不存在时，必有P (±2，0)，此时A C ＝2，S △A O C

＝2.②当直线A C 的斜率存在时，

设其斜率为k ，点P (x 0，y 0

)，则A C ：y －y 0＝k (x －x 0

)，直线A C 与椭圆C 1联立，

得(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－k x 0)x ＋2(y 0－k x 0)2－4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2

)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k y 0－k x 0 1＋2k

2，即x 0＝－2k y 0

，又x 20＋2y 20＝2，∴y 20＝11＋2k

2，S △A O C ＝12×|y 0－k x 0|1＋k

2×1＋k 2·16k 2 y 0－k x 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－k x 0

2

－4]1＋2k 2＝2|y 0－k x 0|2 1＋2k 2 － y 0－k x 0 2

1＋2k 2＝2 1＋2k 2 |y 0|2 1＋2k 2 － 1＋2k 2 2y 201＋2k

2＝2|y 0|1＋2k 2＝2.综上，△A O C 的面积为常数2.

21．解(1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，

第二局比赛结束时比赛结束．

所以有p 2＋(1－p )2＝59

，解得p ＝23或p ＝13

(舍)．(2)依题意知，X 的所有可能值为2,4,6,8.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59

.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．

从而有P (X ＝2)＝59

，P (X ＝4)＝1－59()

×59＝2081

，P (X ＝6)＝1－59()×1－59()×59＝80729

，P (X ＝8)＝1－59()×1－59()×1－59()×1＝729.所以随机变量X 的概率分布为

X

2468P 59208180729729

则E (X )＝2×59＋4×2081＋6×80729＋8×729＝2522729

.22．解(1)∵f (x )＝l n x ＋

1a x －1a

，∴f ′(x )＝1x －1a x 2＝a x －1a x 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，由f ′(x )>0得x >1a

；由f ′(x )<0得0，∴f (x )在0，1a

()

上单调递减，在1a ，＋∞()上单调递增．综上，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

当a >0时，f (x )在0，1a

()上单调递减，在1a

，＋∞()上单调递增．(2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋g (x )≤－2，

即l n x ＋1x －1＋(b －1)x －x e x －1x

≤－2，即b －1≤e x －

l n x x －1x 在(0，＋∞)上恒成立，令h (x )＝e x －l n x x －1x

，则h ′(x )＝e x

－1－l n x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋l n x x 2，令u (x )＝x 2e x ＋l n x ，则u ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x

>0，∴u (x )在(0，＋∞)上单调递增，

又u (1)＝e >0，u 12()＝e 4－l n 2<0，∴u (x )有唯一零点x 012

，所以u (x 0)＝0，即x 0e x 0＝－l n x 0x 0，(*)当x ∈(0，x 0

)时，u (x )<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减；x ∈(x 0

，＋∞)时，u (x )>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，∴h (x 0

)为h (x )在定义域内的最小值．令k (x )＝x e x 12，则方程(*)等价于k (x )＝k (－l n x )，

又易知k (x )单调递增，所以x ＝－l n x ，e x ＝1x

，∴h (x )的最小值为

h (x 0)＝e x 0－l n x 0x 0－1x 0＝1x 0－－x 0x 0－1x 0

＝1，∴b －1≤1，即b ≤2，

∴实数b 的取值范围是(－∞，2]．