《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.

 答案：0.3

解：

即

所以 

 .

2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.

答案：

 解答：

 由    知  

 即   解得  ，故

3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.

答案：

 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

 因为，所以，即

 故

 另解  在上函数严格单调，反函数为

所以

4．设随机变量相互，且均服从参数为的指数分布，则_________， =_________.

答案：， 

 解答：

 ，故 

 .

5．设总体的概率密度为

   .

是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

答案：

 解答：

似然函数为 

 解似然方程得的极大似然估计为

 .

2、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设为三个事件，且相互，则以下结论中不正确的是

  （A）若，则与也.

  （B）若，则与也.

  （C）若，则与也.

  （D）若，则与也.（ ）

答案：（D）.

 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

 事实上由图 可见A与C不.

2．设随机变量的分布函数为，则的值为

  （A）.（B）.

  （C）.（D）.（ ）

 答案：（A）

 解答：所以

  应选（A）.

3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是

  （A）与.（B）.

  （C）.（D）.（ ）

 答案：（B）

解答：由不相关的等价条件知， 

应选（B）.

4．设离散型随机变量和的联合概率分布为

 若，则的值为

  （A）.（A）.   

  （C）  （D）.（ ）

 答案：（A）

 解答： 若则有

 ， 

 故应选（A）.

5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中

 正确的是

  （A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.

  （C）是的相合（一致）估计量.  （D）不是的估计量. （ ）

 答案：（A）

 解答：

 ，所以是的无偏估计，应选（A）.

3、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，

求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

  （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’

  ‘任取一产品确是合格品’

则（1） 

 （2）.

4、（12分）

 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，

 求的分布列、分布函数、数学期望和方差.

 解：的概率分布为

 即 

 的分布函数为

 .

5、（10分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.

解： （1）的概率密度为

 （2）利用公式

 其中

 当或时

 时 

 故的概率密度为

 的分布函数为

 或利用分布函数法

6、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.

  解： （1）

 ；

 （2）

 . 

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.

 （附注）

 解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）

 （2）的拒绝域为.

 ， 

 因为  ，所以接受.

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）

 专业、班级：                  姓名：            学号：            

一、单项选择题(每题3分 共18分)

1．D  2．A  3．B  4．A  5．A  6．B

(2)因为   

所以  与不相互

                                             …………8分

七、（8分）设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）；（2）求的边缘密度。

解：（1）      …………..2分

        =

  =[]                           ………….4分

（2）            …………..6分

               ……………..8分

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

解： 因为       得      ………….2分

用表示出售一台设备的净盈利

      …………3分

则   

                   ………..4分

所以       

（元）           ………..6分

九、（8分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。

解：已知

则            ……….4分

               ……….5分

                 ……….6分

=12            …………..8分

十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.

解：用表示第户居民的用电量，则

         ………2分

则1000户居民的用电量为，由同分布中心极限定理

                ………3分

=        ………4分

                    ……….6分

=                                ………7分

十一、（7分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为

其中未知，求的最大似然估计。

解:   最大似然函数为

        ……….2分

=           ……… .3分

则

                                     ………..4分

令                        ………..5分

于是的最大似然估计：

。          ……….7分

十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，长期以来方差稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为，试求的置信水平为95%的置信区间。（  ）

 解： 因为已知，且                    …………1分

故                        …………2分

依题意  

则的置信水平为95%的置信区间为

           …………4分

即为      [4.801,5.199]                      …………5

专业、班级：                 姓名：              学号：