2013年考研数学一答案

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．已知，则下列正确的是

（A）             （B）

（C）             （D）

【分析】这是型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．

【详解1】，所以，即．

【详解2】 因为，显然，当然有．应该选（Ｄ）

2．曲面在点的切平面方程为

（A）             （B）

（C）             （D）

【分析】此题考查的是空间曲面在点处的法向量及切平面的方程．其中法向量为．

【详解】设，则在点点处，从而切平面方程为，即．应该选（Ａ）

３．设，，令，则

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．

【详解】由条件可知，为的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知也是周期为２的奇函数，故，应选（Ｃ）．

４．设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．

【详解】由格林公式，

．

所以，；

在椭圆：上，二重积分最好使用广义极坐标计算：

故，．

显然最大．故应选（Ｄ）．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是

（A）              （B），为任意常数

（C）              （D），为任意常数

【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

从而可知，即，为任意常数，故选择（B）．

7．设是随机变量，且，，则

（A）                    （B）

（C）                    （D）

【详解】若，则

，，

，

．

故选择（A）．

8．随机变量，给定，常数，则

（A）      （B）           （C）        （D）

【详解】注意到，则知，

从而，故应该选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．设函数由方程确定，则        ．

【详解】当时，，利用隐函数求导法则知．

．

10．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为                ．

【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数．

11．设为参数，则             ．

【详解】，，

所以．

12．              ．

【详解】

13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=              ．

【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知

，所以可能为或0．

但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以

14．设随机变量Y服从参数为1的指数分布，为大于零的常数，则=            ．

【详解】这是一个条件概率．

，，

从而．

三、解答题

15．（本题满分10分）

计算，其中．

【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．

【详解】

16．（本题满分10分）

设数列满足条件：，是幂级数的和函数．

（1）证明：；

（2）求的表达式．

【详解】

（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，

；

，

由条件可得，

所以，

也就有．

（2）解：由于所以

，所以，

解微分方程， 可得．

17．（本题满分10分）

求函数的极值．

【详解】先求驻点，令

解得，

为了判断两个驻点是否为极值点，求二阶偏导数，

在点处，且，所以为极小值点，极小值为．

在点处，所以不是极值点．

18．（本题满分10分）

设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：

（1）存在，使得；

（2）存在，使得．

【详解】

证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得．

（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，

令，由条件显然可知在上可导，且，

由罗尔定理可知，存在，使得即．

19．（本题满分10分）

设直线L过两点，过L绕Z轴旋转一周得到曲面，曲面与平面所围成的立体为．

（1）求曲面的方程；

（2）求立体的质心坐标．

【详解】

（1）直线L的对称式方程为，

设为曲面上的任意一点，并且其对应于直线L上的点为，

由于过L绕Z轴旋转一周得到曲面，所以有如下式子成立

，整理可得，，这就是曲面的方程．

（2）设的质心坐标为，由对称性，显然，

，

所以的质心坐标为．

20．（本题满分11分）

设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．

【详解】

显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设，

则变形为，

即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下

，

所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得．

此时，，

所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为

，其中为任意常数．

21．（本题满分11分）

设二次型．记．

（1）证明二次型对应的矩阵为；

（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．

【详解】证明：（1）

所以二次型对应的矩阵为．

证明（2）设，由于

则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；

，所以为矩阵对应特征值的特征向量；

而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值．

故在正交变换下的标准形为．

22．（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度函数为，令随机变量

（1）求随机变量Y的分布函数；

（2）求概率．

【详解】（1）先求常数的取值：，从而

设随机变量Y的分布函数为，则

当时，；

当时，；

当时，．

所以随机变量Y的分布函数为

（2）

；

；

，

所以．

23．（本题满分11分）

设总体X的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本．

（1）求的矩估计量；

（2）求的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）

，

令，得的矩估计量．

（2）当时，似然函数为

，

取对数，，

令，得， 

解得的极大似然估计量为．