关于长木板上的相对滑动问题

例、质量M=4kg长木板，L=1.4m静止在光滑水平地面上，其上端右侧静置一个质量为m=1kg的小滑块，小滑块与木板间μ＝0.4，g＝10m/s2．

　　（1）现用恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上面滑落下来，问：F大小范围是什么？

　　（2）其它条件不变，若恒力F=22.8N，且始终作用在M上，最终使得m能从M上面滑落下来，问：m在M上面滑动的时间是多大？

　　（3）今用一水平力F=28N向右拉木板，要使小滑块从木板上掉下来，则此力作用时间至少要多久？

解：

　　（1）对m最大的加速度：μmg=mamam=μg=4m/s2

　　m、M恰好不相对滑动，则F=(M＋m)am=20N

　　要使m能从M上面滑下，则F>20N

　　（2）对M：F－μmg=MaMaM=4.7m/s2 

　　由

　　（3）分析过程：若F一直作用在M上不撤去，则对m和M，

　　aM==6m/s2>am =μg=4m/s2均水平向右匀加速运动．

　　只要F作用时间足够长的肯定从M上掉下来，

　　故要使m从M上掉下来，F作用最短时间的临界条件是滑到M最左端两者具有共同速度．

　　解法一：设F作用时间为t，则F作用时间内

　　对m：am=μg=4m/s2　水平向右

　　vm=amt=4t　①

　　Sm=amt2=2t2　②

　　对M：aM==6m/s2　水平向右

　　vM=aMt=6t　③

　　SM=aMt2=3t2　④

　　撤去力F后：a′m=μg=4m/s2　向右

　　a′M==1m/s2　水平向左

　　设再经时间t′达共同速度v共：

4t＋4t′=6t－t′⑤

t′=0.4t

v共=5.6t

撤去F后m、M对地向右运动位移：

滑块m从木板M上滑下来条件是：

SM＋S′m－(Sm＋S′m)≥L

3t2＋2.32t2－(2t2＋1.92t2)≥L1.4t2≥1.4t≥1.0s

　　解法二：相对运动法：

　　设F作用时间为t，在F作用过程中，M对m的运动，以m为参考系，选取向右为正方向．

　　M相对m作初速为0的加速度为aM对m=aM－am=6－4=2m/s2的匀加速直线运动：

　　SM对m=(aM－am)t2=t2

　　撤去F后，M对m：v0M→m=vM－vm=aMt－amt=2t

　　m对地a′m=μg=4m/s2　水平向右

　　M对地：　向左

　　∴aM对m=a′M－a′m＝－1－4＝－5m/s2

　　0.4t2＋t2≥1.4t≥1.0s

1、光滑水平面上，足够长的木板质量M=8kg，由静止开始在水平拉力F=8N作用下向右运动．如图所示，当速度达到1.5m/s时，将质量m=2kg的物体轻轻放到木板的右端，已知物体与木板之间的动摩擦因数μ=0.2．求：物体放到木板上以后，经多少时间物体与木板相对静止?在这段时间里，物体相对于木板滑动的距离多大?(g取10m/s2)

解析：物体放到木板上之后，在它们达到相对静止之前，它们之间在水平方向上存在相互作用的滑动摩擦力F′=μmg=4N

　　物体m的加速度为a1=μg=2m/s2

　　木块的加速度为a2=(F－F′)/M=0.5m/s2

　　物体与木块达到相对静止所需时间由a1t=v＋a2t得t=1s，在此时间内，物体在木板上滑行的距离为.

2、在光滑的水平面上，放着两块长度相同、质量分别为M1、M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块，如图所示，开始时，各物块静止．今在两物块上各作用一水平恒力F1、F2，在物块与木块分离时，两木板的速度分别为v1和v2，物块与两木板之间的动摩擦因数相同，下列说法中正确的是（　）

A．若F1=F2，M1>M2，则v1>v2

B．若F1=F2，M1v2

C．若F1>F2，M1=M2，则v1>v2

D．若F1v2

解析：加速度是速度－时间图的斜率，而图象与坐标轴所围面积是物体的位移，所以利用速度－时间图象来分析本题比公式讨论直观、简捷，这就是图象的最大特点．本题若是从计算的角度来进行分析，远没有利用图象方便．读者可以自行讨论进行比较．运动物体的速度时间图象在运动学和动力学中的应用是很广泛的，本题属于动力学的内容．

　　解法一：物块的加速度为，木板的加速度为，两物均做初速度为零的匀加速直线运动，有，物块滑离木板的条件是L=s－s′=，由此式可得时间，木板的速度；若F1=F2，M1>M2，则v1v2；若F1>F2，M1=M2，则v1v2. 比较选项内容B、D正确．

　　解法二：对于长木板，它受到物块对它的滑动摩擦力Ff，物块加速度，木板加速度为作出两个物体的速度－时间图，由图象可以说明：

　　若F1=F2，说明物块的加速度相同，要使两图象所围面积之差(即图中的阴影部分面积)为长木板的长度时，当a′越小所用的时间t0越小，长木板的速度越小，说明长木板的质量越大，B选项正确．

　　若M1=M2，说明长木板的加速度是相同的，当两图象所围面积之差为长木板的长度时，则a越大，即恒力F越大，则所用的时间越短，而长木板的速度就越小，D选项正确．

3、如图所示，已知一质量m=0.4kg的木块以速度v0=5m/s滑上质量M=1.6kg的静止小车上，当木块滑上小车后，木块与小车之间的动摩擦因数μ=0.2，已知小车足够长，地面光滑．求：

(1)木块在小车上滑行的时间．

(2)在这段时间内小车和木块的位移各为多少？

　解析：处于光滑水平面的小车，当木块在其上表面滑动时，它们之间有相对运动而存在滑动摩擦力，致使两物均产生加速度，使木块做减速运动，小车做加速运动，这对滑动摩擦力的作用效果是使两物体相对运动的速度减小，当它们相对静止时，由于滑动摩擦力消失而使它们的加速度也随之消失，它们以后将做匀速直线运动．本题的突破点是要能分析到它们之间由相对运动到相对静止这一过程的运动时间和它们各自的位移(对地)．

　　解法一：(1)木块和小车在水平方向上均受到它们之间的滑动摩擦力的作用，摩擦力的大小为f=μmg，由牛顿第二定律

　　对木块有μmg=mam，am=μg=2m/s2，方向向左；对小车有μmg=MaM，aM==0.5m/s2，方向向右．

　　由于木块的加速度方向与速度方向相反，故木块做减速运动，小车的初速度为零，故小车在滑动摩擦力的作用下向右做加速运动，当两者速度相等时，它们之间无相对运动，滑动摩擦力立即消失，以后它们一起做匀速运动．

　　木块的速度vm=v0－amt=v0－μgt

小车的速度vM=aMt=

vm=vM时，v0－μgt=得

　　(2)木块与小车相对静止时，它们的速度为v=v0－μgt=1m/s，在木块相对小车滑动的这段时间内，木块的位移为sm，小车的位移为sM，由位移与平均速度和时间的关系有sm=·t=6m，SM==1m.

　　解法二：(1)由解答一可知木块和小车的加速度分别为am=2m/s2方向向左和aM=0.5m/s2方向向右．以小车为参考系，木块初速度v0′=v0=5m/s，加速度a=am＋aM=(2＋0.5)m/s2=2.5m/s2，当木块做匀减速运动，速度为零时，有

　　vt=v0′－at=0，t==2s

　　(2)木块在小车上相对运动的过程中，木块对地的位移为sm，小车对地的位移为sM，由匀变速运动的位移公式可得

sm=v0t－=6m

sM==1m

4、如图所示，质量M=4kg的木板长L=1.4m，静止在光滑的水平地面上，其水平顶面右端静置一个质量m=1kg的小滑块(可视为质点)．小滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.4．今用一水平力F=28N向右拉木板，要使小滑块从木板上掉下来，此力作用时间至少要多少?(不计空气阻力，取g=10m/s2)

解：小滑块的加速度am=μg=4m/s2，长木板在F作用时的加速度aM==6m/s2，当F撤去后的加速度aM′==1m/s2．故长木板开始做加速运动，后做减速运动，而小滑块一直做加速运动．当两物速度相等时，除非小滑块刚好滑离长木板．否则，小滑块就再也不能滑离长木板．设长木板加速时间为t1，减速时间为t2，有：aMt1－aM′t2=am(t1＋t2)，解得:t2=0.4t1，，由以上两式可得t1=1s．

5、如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相同的两块长木板．A的左端和B的右端相接触．两板的质量皆为M=2.0kg，长度皆为l=1.0m．C是一质量为m=1.0kg的小物块，现给它一初速度v0=2.0m/s，使它从B板的左端开始向右滑动．已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数皆为μ=0.10，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动．（取g=10m/s2）

解：C滑上B后，在滑动摩擦力的作用下：c做匀减速运动，B与A一起做匀加速运动，加速度分别为aC=μg=1m/s2，aAB==0.25m/s2

　　以BA为参考系，C初速度为v0，末速度为v1，加速度为aCBA=aC＋aBA=1.25m/s2，位移为l，由匀变速运动的规律有v12=v02－2aCBAl=1.5m/s2

运动时间

　　此时B相对地的速度vB=aBAt1=0.155m/s

　　当C滑上A后，B将以vB=1.55m/s的速度做匀速运动，而C滑上A后，由于滑动摩擦力的大小不变，C的加速度不变，A的加速度为aA==0.5m/s2

　　以A为参照物，C是以相对速度v1滑上A木板，加速度aCA=aC＋aA=1.5m/s2，当C滑动l距离时的末速度为v2，则=1.5－2×1.5×1<0，说明C不能滑离长木板A，最后相对速度为零．有0=v12－2aCAs，s==0.5m.

　　所用时间为t2==0.816s.

　　故A、C的末速度vA=vC=vB＋aAt2=0.563m/s.

6、在光滑的水平轨道上有两个半径都是R的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于L(L比2r大得多)时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在着相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示，欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？

解法一：当A、B两球距离等于L后，A球减速，B球加速，加速度分别为在时间t内(从A、B两球距离为L开始计时)，如图所示，有，

　　两球间的距离

　　而△s>2r，则有(aA＋aB)t2－v0t＋L>2r

　　将代入后有

　　－v0t＋L－2r>0

　　要使该式成立，则其判别式△<0

　　即△=v02－4(L－2r)<0

　　可得

　　解法二：当A、B两球间距离等于L开始计时，两球的加速度分别为．以B球为参考系，A球的初速度v0′=v0，加速度aAB=aA＋aB=，当A球的速度减为零时(也就是两球相对静止)，A球的位移为s，有，当s7、如图所示，在长为l=1.0m、质量为mB=30.0kg的车厢B内的右壁处，放一质量mA=20.0kg的小物块A(可视为质点)，向右的水平拉力F=120.0N作用于车厢，使之从静止开始运动．车厢B在最初2.0s内移动的距离s=5.0m，且在这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞．假设车厢与地面间的摩擦忽略不计，小物块与车厢壁之间的碰撞无机械能损失．求车厢开始运动后2.8s时，车厢与小物块的速度．

解：讨论自B开始到t0=2.0s时间内B与A的运动．根据题意，在2s内，A未与B发生过碰撞，因此不论A与B之间是否有相对运动，不论A与B之间是否有摩擦，B总是做初速度为零的匀加速直线运动．设B的加速度为aB，有，即．①如果A、B之间无摩擦，则在B向右移动1m距离的过程中，A应保持静止状态，接着B的车厢左壁必与A发生碰撞，这不合题意．如果A、B之间无相对运动(即两者之间的摩擦力足以使A与B有一样的加速度)，则B的加速度，这与①式矛盾．由此可见，A、B之间既有相对运动又存在摩擦力作用．以Ff表示A、B间的滑动摩擦力的大小，作用于B的摩擦力向左，作用于A的摩擦力向右，则有F－Ff=mBaB　②，Ff=mAaA　③．由①②③式得aA=2.25m/s2．讨论B的左壁与A在2.8s内是否发生碰撞．由于aA8、如图所示，一质量为500kg的木箱放在质量为2000kg的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离L=1.6m．已知木箱与木板间的动摩擦因数μ=0.484，平板车在运动过程中所受阻力是车和箱总重的0.20倍．平板车以v0=22.0m/s的恒定速度行驶，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为不让木箱撞击驾驶室(g取10m/s2)，试求：

　　(1)从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间?

　　(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多大?

解法一：(1)刹车后有：v02=2a0s0，v0=a0t0．欲使t0小，a0应该大．木箱的a1=μg，当a0>a1时，木箱相对底板滑动，有v02=2a1s1．为了使木箱不撞击驾驶室应有：s1－s0≤L，联立得a0≤=5m/s2，∴t0=v0/a0=4.4s．

　　(2)F＋k(m1＋m2)g－μm2g=m1a0，解得F=7420N．

　　解法二：设平板车刹车的加速度是a1，木箱相对平板车滑动，其加速度为a2．由Ff=μmg及Ff=ma2，得a2=4.84m/s2．由速度公式vt=v0－a1t，车停止时vt=0，得v0－a1t=0，．木块相对车以a1－a2的加速度做加速运动，有(a1－a2)t2=L．或者设车刹车过程中的位移是s，对车有s=v0t－　①，对木块有L＋s=v0t－　②，②－①式得L=(a1－a2)t2．将代入，整理得：a2t2－v0t＋2L=0．将a2=4.84m/s2，v0=22.0m/s，L=1.6m代入，整理得121t2－550t＋80=0，解出t=4.4s．

　　(2)略．

9、如图所示，平板车长为L=6 m，质量为M=10 kg，上表面距离水平地面高为h=1.25m，在水平面上向右做直线运动，A、B是其左右两个端点．某时刻小车速度为v0=7.2m/s，在此时刻对平板车施加一个方向水平向左的恒力F=50N，与此同时，将一个质量m=1 kg的小球轻放在平板车上的P点(小球可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零)，，经过一段时间，小球脱离平板车落到地面，车与地面的动摩擦因数为0.2，其他摩擦均不计．取g=10m/s2，求：

(1)小球从离开平板车开始至落到地面所用的时间；

(2)小球从轻放到平板车开始至离开平板车所用的时间；

(3)从小球轻放上平板车到落地瞬间，平板车的位移大小．

解：(1)小球从离开平板车开始至落到地面所用的时间

　　(2)小球放到平板车后相对地面静止，小车的加速度为

　　小车向右运动的距离为

　　x1小于4m，所以小球不会从车的左端掉下．

　　小车向右运动的时间为

　　小车向左运动的加速度为

　　小车向左运动的距离为x2=x1＋=(3.6＋2)m=5.6m

　　小车向左运动的时间为

　　t=t1＋t2=1＋2=3s．

　　(3)小球刚离开平板车瞬间，小车的速度方向向左，大小为v2=a2t2=2.8×2=5.6 m/s

　　小球离开车子后，车的加速度为a3==3 m/s2

　　车子向左运动的距离为x3=v2t3＋=5.6×0.5＋×3×0.52=3.175 m

　　从小球轻放上平板车到落地瞬间，平板车的位移大小x=x1＋x2＋x3=5.175m