高中数学人教A版(新教材)第二册优质学案：第九章统计章末复习课

『网络构建』

『核心归纳』

1.简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样(除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样).通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

2.抽签法

先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.

3.随机数法

先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数.

4.分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

5.获取数据的基本途径

(1)通过调查获取数据；(2)通过观察获取数据；(3)通过试验获取数据；(4)通过查询获取数据.

6.常用的统计图表

扇形图、条形图、频数分布直方图、折线图、频率分布直方图.

7.画频率分布直方图的步骤

(1)求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图.

8.第p百分位数

(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

9.众数、中位数和平均数的定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.

(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数.

(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.

10.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差

数据x1，x2，…，xn的方差为 (xi－)2＝x－2，标准差为.

要点一　抽样方法的应用

1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样.

2.两种抽样方法比较

『例1』　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)

A.12，24，15，9      B.9，12，12，7

C.8，15，12，5      D.8，16，10，6

『解 析』　因为抽样比为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.

『答 案』　D

『训练1』　问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法：(1)简单随机抽样；(2)分层随机抽样.则问题与方法配对正确的是(　　)

A.①(1)，②(2)      B.①(2)，②(1)

C.①(1)，②(1)      D.①(2)，②(2)

『解 析』　问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层随机抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样.故匹配正确的是B.

『答 案』　B

要点二　用样本的取值规律估计总体的取值规律

与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略

(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解.

(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解.

『例2』　下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.

解　(1)列出样本频率分布表：

(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为＝≈0.19.

所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.

『训练2』　某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为『20，40)，『40，60)，『60，80)，『80，100』.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A.45      B.50 

C.55      D.60

『解 析』　由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝＝50.

『答 案』　B

要点三　样本的百分位数

1.四分位数：第25分位数，第50分位数，第75分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.

2.由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解.

『例3』　欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2013年全球主要20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表：

解　把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列：

1.7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，8.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9.

而20×25%＝5，所以这20个数的25%分位数为＝5.5.

而20×50%＝10，所以50%分位数为＝7.45，

而20×75%＝15，所以75%分位数为＝12.65.

所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的四分位数为：

63　38　25　42　56　48　53　39　28　47

则上述数据的50%分位数为________.

『解 析』　把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则10×50%＝5.

所以50%分位数为＝＝44.5.

『答 案』　44.5

要点四　用样本的集中趋势、离散程度估计总体

为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，则中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是

s＝.有时也用标准差的平方(方差)来代替标准差.

『例4』　根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在『6.5，7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在『7.5，8.5』万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值和方差s2；

(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量.

解　(1)这200户家庭的全年收入的样本均值＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4，

方差s2＝(－3)2×0.06＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96.

(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.06＝6(万户).

『训练4』　某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：

(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？

解　(1)＝×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，

s2＝×『6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2』＝1.5，

所以s≈1.22，

故样本的平均成绩为6分，标准差约为1.22分.

(2)在60名选手中，有12＋3＋3＝18(名)学生预赛成绩在7分或7分以上，所以估计210人中有×210＝63(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以进入复赛.