2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1．（2分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（　　）

A．0    B．5    C．0和5    D．0和﹣5

2．（2分）下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（　　）

A．（1，0）    B．（0，1）    C．（0，﹣1）    D．（﹣1，0）

3．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（　　）

A．1：2    B．1：4    C．2：1    D．4：1

4．（2分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（　　）

A．π    B．    C．    D．

5．（2分）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．（2分）若，则∠A＝　   　°．

8．（2分）若，则的值为　   　．

9．（2分）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是　   　．

10．（2分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是　   　．

11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的顶点坐标是　   　．

12．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于　   　（结果保留π）．

13．（2分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为　   　．

14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是　   　． 

16．（2分）如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为　   　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17．（8分）求下列各式的值：

（1）sin230°+cos230°

（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°

18．（8分）解下列方程：

（1）x2﹣16＝0；

（2）x2﹣5x﹣6＝0．

19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．

20．（8分）如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．

（1）求证：△ADB∽△ABC；

（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接OC．

（1）求⊙O的半径；

（2）求sin∠COA的值．

22．（8分）一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？

23．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1的图象经过点（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）直接写出y＞0时x的取值范围；

（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．

24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）

25．（8分）△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．

（1）求证：；

（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；

（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．

26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

（1）求证：直线CE与⊙O相切；

（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．

27．（9分）如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．

问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．

思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

③AC平分∠OAB→CE＝CF；

④S△AOC+S△ABC＝S△AOB→AO•CF+AB•CE＝OA•AB→CF＝3﹣；

⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．

可以优化吗？

（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．

几位同学提出了不同的思路

①甲说：S△AOC和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；

②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；

③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．

请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．

有什么收获？

（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1．（2分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（　　）

A．0    B．5    C．0和5    D．0和﹣5

【分析】利用因式分解法求解可得．

【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，

∴x＝0或x﹣5＝0，

解得：x1＝0，x2＝5，

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

2．（2分）下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（　　）

A．（1，0）    B．（0，1）    C．（0，﹣1）    D．（﹣1，0）

【分析】分别计算自变量为1、0、﹣1所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．

【解答】解：当x＝1时，y＝x2+1＝1+1＝2；

当x＝0时，y＝x2+1＝0+1＝1；

当x＝﹣1时，y＝x2+1＝1+1＝2；

所以点（0，1）在函数y＝x2+1的图象上．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

3．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（　　）

A．1：2    B．1：4    C．2：1    D．4：1

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式即可求解．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．

故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

4．（2分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（　　）

A．π    B．    C．    D．

【分析】根据弧长公式进行求解即可．

【解答】解：弧长l＝

＝．

故选：C．

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝．

5．（2分）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．

【解答】解：由于点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，

则AP＝AB＝×2＝﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．

6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝3，

在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．

∴∠A＝∠BCD．

∴tan∠BCD＝tanA＝＝，

故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．（2分）若，则∠A＝　30　°．

【分析】根据特殊锐角的三角函数值可得答案．

【解答】解：∵sinA＝，

∴∠A＝30°，

故答案为：30．

【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

8．（2分）若，则的值为　　．

【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出的值．

【解答】解：∵，

∴2a＝3b，

∴a＝1.5b，

∴＝＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．

9．（2分）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是　60°　．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，

∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，

故答案为：60°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

10．（2分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是　﹣3　．

【分析】根据根与系数的关系x1x2＝来解题．

【解答】解：设方程的另一根为t，则1×t＝﹣3，

解得，t＝﹣3．

故答案是：﹣3．

【点评】本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键，此题属于基础题．

11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的顶点坐标是　（2，﹣4）　．

【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．

【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4

∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．

故本题答案为：（2，﹣4）．

【点评】本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．

12．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于　10π　（结果保留π）．

【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．

【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×5＝10π，

故答案为：10π．

【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧＝πrl是解决问题的关键．

13．（2分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为　　．

【分析】根据三角形重心的性质即可求解．

【解答】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，

∴CG：DG＝2：1，

∴＝＝．

故答案为：．

【点评】考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是　﹣1或3　． 

【解答】解：∵x＝0和x＝2时，y的值都是3，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

而x＝﹣1时，y＝0，

∴x＝3时，y＝0，

即y＝0时，x的值为﹣1或3．

故答案为﹣1或3．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

15．（2分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是　x＝1.2或x＝3　．

【分析】分△ADE∽△ABC和△AED∽△ABC两种情况，依据相似三角形的性质求解，结合0＜BD＜6取舍即可得．

【解答】解：∵AB＝6，AC＝12，BD＝x，AE＝2x，

∴AD＝6﹣x，AE＝2x，

若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝3，

若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝1.2；

综上，x的值可能是0＜x＜6中的任意实数，

故答案为：x＝1.2或x＝3．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

16．（2分）如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为　50°　．

【分析】连接AD，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可

【解答】解：连接AD，

∵∠APC＝∠BAD+∠ADC＝×（+）的度数，

∴∠APC＝（40°+60°）＝50°．

故答案为50°．

【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17．（8分）求下列各式的值：

（1）sin230°+cos230°

（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．

【解答】解：（1）sin230°+cos230°

＝（）2+（）2

＝1；

（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°

＝×+4××

＝+2

＝．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

18．（8分）解下列方程：

（1）x2﹣16＝0；

（2）x2﹣5x﹣6＝0．

【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；

（2）利用因式分解法求解可得．

【解答】解：（1）∵x2﹣16＝0，

∴x2＝16，

则x1＝4，x2＝﹣4；

（2）∵x2﹣5x﹣6＝0，

∴（x+1）（x﹣6）＝0，

则x+1＝0或x﹣6＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝6．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．

【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．

【解答】解：根据题意可得：根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，

∴＝，

解得：DE＝12．

答：旗杆DE的高度是12米．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．

20．（8分）如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．

（1）求证：△ADB∽△ABC；

（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，

∴△ADB∽△ABC；

（2）解：∵△ADB∽△ABC，

∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴＝，

∴AC＝9．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接OC．

（1）求⊙O的半径；

（2）求sin∠COA的值．

【分析】（1）由CD⊥AB知CE＝CD＝2，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣1，在Rt△COE中，由OC2＝OE2+CE2列出关于r的方程求解可得；

（2）由OC＝，CE＝2根据sin∠COA＝计算可得．

【解答】解：（1）∵CD⊥AB，

∴CE＝DE＝CD＝2，

设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣1，

在Rt△COE中，由OC2＝OE2+CE2知r2＝（r﹣1）2+22，

解得r＝，即⊙O的半径为；

（2）在Rt△COE中，OC＝，CE＝2，

∴sin∠COA＝＝＝．

【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理、勾股定理及三角函数的应用等知识点．

22．（8分）一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？

【分析】根据“如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5m，利用矩形的面积公式列出方程即可．

【解答】解：∵长减少5m，菜地就变成正方形，

∴设长方形的宽为xm，则长为（x+5）m，

根据题意得：x（x+5）＝150．

解得：x＝10，或x＝﹣15（舍去），

则x+5＝15，

答：这个长方形菜地的长为15m，宽为10m．

【点评】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．

23．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1的图象经过点（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）直接写出y＞0时x的取值范围；

（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．

【分析】（1）把（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1中求出a即可得到抛物线解析式；

（2）先解方程（x﹣2）2﹣1＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；

（3）利用点（1，0）或点（3，0）平移到原点的方案得到得到抛物线平移的方案．

【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，

所以y＝（x﹣2）2﹣1；

（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，

抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），

所以当x＜1或x＞3时，y＞0；

（3）把抛物线向左平移1个或3个单位时，抛物线经过原点．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）

【分析】设CH＝xm，根据矩形的性质得到AG＝CH＝x，根据正切的定义用x表示出EH、EG，结合图形列式计算即可．

【解答】解：设CH＝xm，

由题意得，四边形ACHG为矩形，

∴AG＝CH＝x，GH＝AC＝20﹣10＝10，

∵∠ECH＝45°，

∴EH＝CH＝x，

在Rt△EAG中，tan∠EAG＝，即tan37°＝，

解得，EG≈x，

则x﹣x＝10，

解得，x＝40，

∴EF＝FH+EH＝50，

答：建筑物EF的高度约为50m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．

25．（8分）△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．

（1）求证：；

（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；

（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．

【分析】（1）先判断出AM是△AEF的高，再判断出△AEF∽△ABC，即可得出结论；

（2）先判断出四边形EMDG是矩形，得出DM＝EH，进而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的结论即可得出结论；

（3）由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EF∥BC，

∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴AM⊥EF，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴（相似三角形的对应边上高的比等于相似比）；

（2）∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG，

∴四边形EMDH是矩形，

∴DM＝EH，

∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，

∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y，

由（1）知，，

∴，

∴y＝8﹣x（0＜x＜12）；

（3）由（2）知，y＝8﹣x，

∴S＝S矩形EFGH＝xy＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣6）2+24，

∵a＝﹣＜0，

∴当x＝6时，Smax＝24．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的面积公式，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．

26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

（1）求证：直线CE与⊙O相切；

（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；

（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠BCE＝∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠ACD＝2∠A，

∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，

∵∠A＝∠D，

∴∠DCO＝∠D，

∴OC∥DE，

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CE，

∴直线CE与⊙O相切；

（2）解：∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，AB＝10，

∴BC＝6，

∵直线CE与⊙O相切，

∴∠BCE＝∠BAC，

∵∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴，

∴CE＝．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

27．（9分）如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．

问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．

思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

③AC平分∠OAB→CE＝CF；

④S△AOC+S△ABC＝S△AOB→AO•CF+AB•CE＝OA•AB→CF＝3﹣；

⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．

可以优化吗？

（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．

几位同学提出了不同的思路

①甲说：S△AOC和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；

②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；

③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．

请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．

有什么收获？

（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．

【分析】（1）根据甲、乙、丙的三种思路解决问题即可；

（2）根据S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，利用面积法解决问题即可．

【解答】解：（1）方法可以优化．

方法一：如图2﹣1中，作CE⊥OA于E，CF⊥AB于F．

∵CA平分∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB，

∴CE＝CF，

∵＝＝＝＝，

∴OC＝OB•＝2﹣2．

方法二：如图2﹣2中，在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG．

∵AO＝AG，∠OAC＝∠CAG，AC＝AC，

∴△ACO≌△ACG（SAS），

∴OC＝CG，

∵∠AOC＝∠AGC＝60°，∠ABO＝30°，∠AGC＝∠GCB+∠ABO，

∴∠GCB＝∠GBC，

∴GC＝GB，

∴OC＝GB＝2﹣2．

方法三：如图2﹣3中，延长AC交△ABC的外接圆于点N，连接ON，BN．

易知N（2，﹣2），

∵A（1，），

∴直线AN的解析式为y＝（﹣2﹣）x+2+2，

令y＝0，得到x＝2﹣2，

∴C（2﹣2），

∴OC＝2﹣2．

本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．

（2）如图1中，连接OB，OE，OD，OF．

∵⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F，

∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC，

∵S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，

∴S＝•c•R+•a•R﹣•b•R，

∴R＝．

【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，切线的性质，一次函数的应用，勾股定理，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会一题多解，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．