实验二控制系统的根轨迹

1．实验目的

1) 掌握MATLAB软件绘制根轨迹的方法。

2) 分析参数变化对根轨迹的影响。

3) 利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。

2．实验仪器

1) PC机一台

2) MATLAB软件

3．实验原理

    (1) 根轨迹的概念

经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。

常规根轨迹一般取开环增益K作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：

其中---开环零点， ---开环极点， ---根轨迹增益，是一个变化的参数（），,为一常数。系统结构图如下:

图2-1 闭环系统结构图

闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足

（1）幅值条件：；

（2）相角条件：。

（2）用MATLAB软件绘制根轨迹

MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表2-1所示。使用这些函数能够很方便地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。

表2-1 根轨迹函数

调用格式：pzmap(sys); [p,z]=pzmap(sys)

② rlocfind

调用格式：[k,poles]=rlocfind(sys); [k,poles]=rlocfind(sys,p)

③ rlocus

调用格式：rlocus(sys); rlocus(sys,k); [r,k]=rlocus(sys); r=rlocus(sys,k)

④ rltool

调用格式：rltool(plant); rltool(plant,comp)

⑤ sgrid

调用格式：sgrid; sgrid(z,wn)

⑥ zgrid

调用格式：zgrid; zgrid(z,wn)

4．实验内容与步骤

系统的开环传递函数： 

           绘制系统的根轨迹图。

程序：     num=[1]；

           den=[1  3  2  0]；

           rlocus(num,den)          

执行后得到如下图形：

（1）采用上述方法绘制开环传递函数  

当a=1, 0.5, 8, 10时系统的根轨迹，记录根轨迹图并分析。

（2）绘制开环传递函数

      的闭环根轨迹，并确定根轨迹上任意点处的值及对应的闭环特征根。

                 num=[1  5];

den=[1  1  6  0];

rlocus(num,den)

[k,p]=rlocfind(num,den)

gtext(‘k=0.5’)

执行时先画出了根轨迹，并提示用户在图形窗口中选择根轨迹上的一点，以计算出增益及相应的极点。这时将十字光标放在根轨迹与虚轴的交点处，可得

                  k=0.5072

                  p= -3.2271

                    -0.21

                    -0.8808

          输入如下语句：

              K=10；s1=tf([10 10*5],[1 5 6 0]);

              sys=feedback(s1,1);

              step(sys)；

              impulse(sys)；

          可以求出时的单位阶跃响应和冲激响应。

          按照上述方法记录时的单位阶跃响应和冲激响应曲线。

★ 按照上述方法绘制开环传递函数的闭环根轨迹，确定与虚轴交点处的值。

           a.  

           b.  。

               利用语句: s1=conv([1 0],[1 4]);

                        s2=conv(s1,[1 4 0]);   den=s2;                     

（3）一种具有高性能微型机器人的传递函数为：

（a）画出系统的根轨迹图；

（b）求使闭环系统稳定的增益范围。

MATLAB程序：z=[-1,-2,-3]; p=[0,0,0,1]; k=10; G=zpk(z,p,k); rlocus(G)；

               sys=feedback(G,1);  step(sys);  

由根轨迹图和运行数据知，当时，闭环系统稳定？与之对应的振荡频率为多少？

5.实验报告 

1画出各系统根轨迹图并讨论；

2确定根轨迹上的分离点、与虚轴的交点；

3从根轨迹上能分析系统的性能（稳定性、动态响应）。

思考题

1. 在实验（1）中，不同值构成的根轨迹若画在一张图上会是什么样子？若值固定，以为参数的系统参数根轨迹应该如何在MATLAB中画出？

2. 在实验（2）中，根轨迹上具有相同开环增益值的点应有几个？

3.在实验（3）中，请思考开环极点对使系统稳定的值范围和系统闭环极点位置的影响。