带有一类Slip型边界条件的旋度型Navier-Stokes方程

张   辉

                （广东外语外贸大学南国商学院，广州 510545）

摘要：本文利用Hodge分解理论和Galerkin方法，对带有一类Slip型边界条件的旋度型Navier-Stokes方程进行研究，获得了弱解的局部存在性，唯一性。

关键词：Navier-Stokes方程；弱解 

中国分类号：O175.29

         On the Navier-Stokes equation of vorticity type with a slip boundary condition

                           Zhang       Hui

 ( Nanguo Business College,GuangDong University of Foreign Studies，GuangZhou  510545)

Abstract:In this paper,we study the Navier-Stokes equation of vorticity type in a bounded domain of with a slip boundary condition by Galerkin method an Hodge Edcomposition theory.We obtain the local existence ,uniqueness for arbitrary intial data.

Keywords:Navier-Stokes equation;weak solution

1.介绍及概念

  假设是单连通的有界区域，边界足够光滑，满足同调群，考虑如下方程

                         （1.1）

满足Slip型边界条件：

           ，        on           （1.2）

在本文中，我们主要研究了方程弱解的存在性和唯一性。获得了如下的结果：

定理1.设，存在使得方程（1.3－1.4）存在唯一的弱解且满足如下的条件

定理2.若，则存在，方程（1.1－1.2）存在唯一的强解，且满足如下条件：

我们定义

                     ，

由Hodge分解理论（参见【6】）知又因为，所以为空集，故是以下四个相互正交的子空间的直和.

                  ；

其中

                    ；

                    ；

                    ；

其中表示的第个分量.

Hilbert空间中的两个闭子空间.

其中和分别代表速度场在边界的相应法向量和切向量，他们在迹意义下是有意义的.

 引理1.1.设，则我们有

成立.(参见文献【1】)

引理1.2.若，则有

证明：我们通过计算来证明这个结论：

由边界条件知

即               

故结论成立.

引理1.3.若，则对任意的有如下式子成立：

               ，

其中表示中的内积.

 注：本文中的粘性系数为了方便我们用表示中的范数，表示中的范数.

2.Galkerkin逼近

定理2.1.算子：：是双射有界，且它的逆算子在中是正定对称的紧算子.(参见文献【1】)

由Hilbert-Schmidt定理知道，存在一组特征值：

相应的特征向量函数，并且组成的一组正交基.

下面我们将利用Galkerkin方法对旋度型Navier-Stokes方程做一些先验估计.

我们假设我们考虑如下的常微分方程组：

其中特征值与特征向量是上面所提到的，，显然是Lipshitz的，上面的方程组有解，它等价于下面的偏微分方程

                         （2.1）

                                            （2.2）

其中，表示到的投影算子，我们令，下面我们对做一些先验估计.

对方程（2.1）两边同时对做内积，则可以获得如下的积分方程：

通过计算有

由引理（1.3），我们有如下的不等式成立：

利用下面两个结果

                               （2.3）

                                          （2.4）

  我可以得到：

结合引理1.1，进一步计算可以得到

                                （2.5）

获得了如下的估计式：

由Grownall不等式可以得到如下的关系式：

                           （2.6）

下面我们证明存在，使得，其中，我们令， 

若，则上面的论断显然成立.现假设，由上面的表述有：

              ，     

在上面的式子（2.6）中取，则我们可以得到

于是我们有下面的估计

                                            （2.7）

对方程（2.5）两边从上积分，我们有：

进一步得到

                                            （2.8）

3.定理的证明

我们对方程（1.1－1.2）的弱解定义如下：

若，，，其中称为方程的弱解，如果它满足：

（1）              （3.1）

2.对任意的，有如下的关系式成立：

        ，  ，   （3.2） 

注：我们假设表示它的对偶空间.

定理的证明如下：

证明：，取，由前面我们得到的估计式（2.7），（2.8）知

          在中有界

          在中有界

由Hilbert空间中有界集的弱致密性知存在

，

使得中有子列不妨仍记为满足

下面我们来说明满足（3.2）.对于，我们有

上面的式子表明

 而

表明

由知

对，我们有

     ，， 

令，则有

，  ， 

由在中的稠密性可知

，  ， 

下面我们来讨论弱解的唯一性：

若是方程的弱解，我们令，则满足如下的关系：

      ，， 

我们令，则得到如下的积分方程

通过计算可得

                             （3.3）

                                      （3.4）

把（3.4）代入（3.3），可以得到

由（2.3）（2.4）及引理（1.1）有

由Holder不等式知：

而 

综上，我们有如下结果：存在，使得有

由Gronwall不等式和，我们可以推导，即.

进一步的讨论，我们可以得到定理2.

参考文献

【1】Yuelong Xiao and Zhouping Xin, On the Vanishing viscosity limit for the 3D Navier-Stokes equations with a slip boundary condition,Comm.Pure Apple.Volume 60(2007).

【2】James P.kelliher ,Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions for a boundary domian in the plane,Slam.J.Math.Anal Vol.38.No.1(2006),210-232

【3】Beavers,G,S,and Joseph,D,Boundary conditions at a naturally permeable wall,J.Fluid Mech.30(1967),197-207

【4】J.P.and Brezis ,H,Remarks on the Euler equations,J.Funtional Analysis15(1974),341-363

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【6】C.Auchmuty,Orthogonal decompostions and bases for three-dimensional vector fields,Num.Funct Anal.Option.15(1994)455-488

【7】Busuioc,A.V.and Ratiu,T.S.,The second grade fluid and averaged Euler 

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