2016届黑龙江省哈尔滨三中高三下学期三模数学(理)试题(解析版)

一、选择题

1．已知集合,，则集合（   ）

A．      B．或      C．      D． 

【答案】B 

【解析】试题分析：因为,,所以，故选B.

【考点】1、集合的表示；2、集合的基本运算. 

2．已知复数，则复数所对应的点在（   ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

【答案】C 

【解析】试题分析：因为=，即对应坐标为，所以复数所对应的点在第三象限，故选C. 

【考点】1、复数的运算；2、复数的几何意义. 

3．对于函数，命题“”是“是奇函数”的（   ）

A．充分非必要条件           B．必要非充分条件

C．充分必要条件             D．既非充分又非必要条件

【答案】B 

【解析】试题分析：因为时也有，即不是奇函数，而若是奇函数时一定有，得，所以命题“”是“是奇函数”的必要非充分条件，故选B.

【考点】1、函数的奇偶性；2、充分条件与必要条件.

【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查函数的奇偶性，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.

4．已知是边长为4的等边三角形，则的斜二测直观图的面积为（   ）

A．          B．          C．            D． 

【答案】A 

【解析】试题分析：因为是边长为的等边三角形，所以的面积为，而原图与直观图面积之间的关系是，，，故选A.

【考点】1、斜二测画法的基本含义；2、三角形面积公式.  

5．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（   ）

A．1            B．           C．              D．0

【答案】A 

【解析】试题分析：因为时，第一次循环得；时，第二次循环得；时，第三次循环得；时，第四次循环得；时，第五次循环得，时，第六次循环得，时结束循环，输出的结果是，故选A.

【考点】1、程序框图；2、循环结构及条件结构. 

6．设满足约束条件：，则的最小值为（   ）

A．0              B．1                C．2                 D．3

【答案】C

【解析】试题分析：因为，所以可以画出可行域如图，由可行域知目标函数经过点时有最大值，故选C.

【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法. 

7．已知为等差数列，则下列各式一定成立的是（   ）

A．              B． 

C．              D． 

【答案】B 

【解析】试题分析：因为为等差数列，所以可设其首项为公差为，将都用和表示，对于A；对于B；对于C；对于D,故选B.

【考点】等差数列的通项.

8．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A．            B．          C．           D． 

【答案】C 

【解析】试题分析：因为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,所以根据双曲线的几何性质可知，双曲线的渐近线的斜率，即，故选C.

【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率.  

9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（   ）

A．         B．        C．         D． 

【答案】A

【解析】试题分析：由几何体的三视图知，该几何体是一个四棱锥，其底面是变长为的正方形，一条长为侧棱与底面垂直，它的外接球正是棱长为的正方体的外接球，球体积为，四棱锥体积为，，故选A.

【考点】1、几何体的三视图；2、球的体积公式及棱锥的体积公式. 

10．从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，，为切点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（   ）

A．          B．           C．         D． 

【答案】B 

【解析】试题分析：可化为，，设两切点为，，则，结合可化为同理，因为在上，所以，可得在直线，即方程为故，，故选B.

【考点】1、抛物线的标准方程及简单几何性质；2、利用导数求曲线切线斜率及方程. 

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及抛物线的标准方程和简单几何性质，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率及方程的一般步骤是：(1)求该点处的导数即是切线斜率；(2) 根据点斜式求出直线的方程，解决本题求的关键是将抛物线方程讨论两种情况化为函数关系，然后利用导数解答.

11．已知函数，把函数的零点从小到大的顺序排成一列，依次为，则与大小关系为（   ）

A．         B．         C．         D．无法确定

【答案】B

【解析】试题分析：因为函数，所以

函数的零点即是的根，所以，故选B.

【考点】1、分段函数的解析式；2、函数的零点与方程的根之间的关系.  

【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系，属于难题判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数,本题就利用了方(1)直接求解方程根的.

12．已知向量，的夹角为，，，则            .

【答案】 

【解析】试题分析：因为向量的夹角为，，，所以，所以，故答案为.

【考点】1、平面向量的数量积公式；2、平面向量的夹角和模. 

二、填空题

13．哈三中高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从，则估计分数高于105分的人数为            .

【答案】

【解析】试题分析：因为分数服从，所以由正态分布的性质可知，估计分数高于分的人数为故，答案为.

【考点】正态分布的性质及应用. 

14．已知，，现向集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为            .

【答案】

【解析】试题分析：因为，所以所表示区域的面积，又因为，因为，所以由定积分的几何意义知点所表示的区域面积为，因此，集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为为故答案为.

【考点】1、几何概型概率公式；2、定积分的几何意义.

【方法点睛】本题題主要考定积分的几何意义及几何概型概率公式，属于难题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算总事件的总面积以及子事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 

15．在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为            .

【答案】

【解析】试题分析：因为，所以，由正弦定理得，，设中点为，则， ①又由余弦定理得②，① -②得，由①得，所以，故答案为.

【考点】1、正弦定理及余弦定理；2、两角和的正弦公式及基本不等式求最值.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理以及两角和的正弦公式及基本不等式求最值，属于难题.正弦定理在解题中主要是边角互化，对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 

三、解答题

16．已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）. 

【解析】试题分析：（1）根据，可列出关于等差数列的首项和公差的方程组，解出和可得数列的通项公式，根据等比数列的性质直接写出的通项公式即可；（2）符合错位相减法求和的条件，直接用错位相减法求和即可得结论.

试题解析：（1）得则；. 

（2），

则

两式相减得 

整理得. 

【考点】1、等差、等比数列的定义及通项；2、错位相减法求和.

17．某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.

（1）估计直方图中网购金额的中位数；

（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.

【答案】（1）；（2）. 

【解析】试题分析：（1）设中位数为，则解得进而得中位数；（2）从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，可以直接利用二项分布数学期望公式求解.

试题解析：（1）由初步判定中位数在第二组，设中位数为

，则解得，则中位数是；

（2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，所以可能取值为，且,   

所以的分布列为

数学期望.    

【考点】1、利用直方图求中位数；2、二项分布的分布列及期望.

18．已知四边形为矩形，，，且平面，点为上的点，且平面，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成线面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）. 

【解析】试题分析：（1）取中的，连接、，先证明四边形为平行四边形，再得，进而由线面平行的判定定理得出结论；（2）以为坐标原点，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系,求出及平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解.

试题解析：（1）取中的，连接、

 因为平面,所以为中点，  

,

四边形为平行四边形，

， 平面  ，平面，所以平面.

（2）因为平面，所以为中点，，

因为平面，所以平面

所以  

以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系

平面的法向量为

.

所以线面角正弦值为.  

【考点】1、线面平行的判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.

19．已知椭圆：，斜率为的动直线与椭圆交于不同的两点、.

（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；

（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值.

【答案】（1）（）；（2）. 

【解析】试题分析：（1）设，，，两式相减结合，可求得；（2）由求出点坐标，设直线的方程为，面积用表示，最后用基本不等式求最值.

试题解析：（1）设，   ①②

 ①-②得：,，即,

又由中点在椭圆内部得，所以点的轨迹方程为,

（2）由，得点坐标为， 

设直线的方程为，代入椭圆方程中整理得：

，由得,

则  , 

，  ,  

所以 

，当时，.

【考点】1、点差法求轨迹方程；2、利用基本不等式求解析几何中的最值.

【方法点睛】本题主要考查“点差法”求轨迹方程以及利用基本不等式求解析几何中的最值，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题（1）就是利用“点差法”求解的.

20．已知函数，，，.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值集合.

【答案】（1）上单调递增；（2）. 

【解析】试题分析：（1）设，可证，进而知在上单调递增；（2）恒成立得，由恒成立得，所以可得.

试题解析：（1）当时，设

故在上单调递增 . 

（2）设

，因为，

所以递增.所以有：

当时，，所以单调递增，所以，成立； 

当时，，所以单调递减，欲证不等式不成立；

当时，设零点为，则当时递减

递增，从而当，，与前提矛盾 ,

综上，此时.

再设

,

设，易求，

再令，易知

且，从而由零点存在定理知。必存在唯一零点，使

当，递减，递增，且

设,

当时，恒成立，递增，所以，原不等式成立；

当时，恒成立，递减，所以恒成立，矛盾；

当，设两根为，则递减， 递增， 递减，故此时仍不能恒成立.

综上所述， ,

所以恒成立的的取值集合为. 

【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.

21．如图所示，为以为直径的圆的切线，为切点，为圆周上一点，，直线交的延长线于点.

（1）求证：直线是圆的切线；

（2）若，，求线段的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）. 

【解析】试题分析：（1）连接根据平行线的性质以及等腰三角形的性质证明，进而证明，得，可得结论；（2）先根据勾股定理求，再根据求得线段的长.

试题解析：（1）连接，，

又，所以,又，

所以,所以，因为为圆的切线，所以，直线是圆的切线； 

（2）中，,连接,则，

所以.                                        

【考点】1、三角形全等及三角形相似；2、平行线的性质及切线的性质.

22．已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与曲线的交点为，求.

【答案】（1），；（2）. 

【解析】试题分析：（1）代入法消去参数即可得出的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得到的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程化为代入，直接利用直线参数方程的几何意义求解.

试题解析：（1）的普通方程为，的普通方程为.  

（2）将直线的标准参数方程代入得，，

所以. 

【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标和直角坐标的互化.

23．已知函数.

 （1）求函数的最小值；

 （2）当时，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析. 

【解析】试题分析：（1）分三段讨论函数的单调性进而求出最小值；（2）左边变形为利用基本不等式可证.

试题解析：（1），所以在单调递减，在上单调递增，所以，所以． 

（2）只需证，即证. 

【考点】1、分段函数求最值；2、基本不等式的应用.