深圳中学高二数学选修2-1答案

   年级：高二  科目：数学（标准、实验体系（理））

    命题人：郝变花                    审题人：郭胜宏 

考试时长：90 分钟                      卷面总分：100 分

一、选择题(每小题4分，满分32分）

9．　　　　　　　　10．               11．3 

12．                             13．               14 ．8

三、解答题(本大题共4小题，满分38分)

15.（本小题满分8分）

已知，设命题：函数在上是单调减函数；命题：不等式在上恒成立.若和有且只有一个正确，求的取值范围.

解：若命题为真命题，则；             （1分）

令，当时， 

若命题为真命题，则，即.        （3分）

和有且只有一个正确包括为真命题，为假命题；为假命题，为真命题两种情况.                                             

当为真命题，为假命题时，满足，即.（5分）

当为真命题，为假命题时，满足，即.（7分）

所以满足条件的的取值范围是.（8分）

16.（本小题满分8分）

如果双曲线经过点(6，)，且它的两条渐近线方程是.

⑴求此双曲线的方程；

⑵若该双曲线的弦被点平分，求直线的方程.

解：⑴因为双曲线的两条渐近线方程是

所以设该双曲线的方程为                           （1分）

又因为该双曲线经过点(6，)

所以.                                            （2分）

所以所求双曲线的方程为.                                （3分）

⑵设点的坐标分别为，

当直线的斜率不存在时，弦不能被点平分，

故设其方程为                                       （4分）

联立方程组，消去变量，得

                    （5分）

由题意，得

                 （6分）

解得.                                                       （7分）

所以直线的方程为.                              （8分）

方法二、设点的坐标分别为，则

，                                               （4分）

，得

                             （5分）

的中点为，

                                                （6分）

所以直线的方程为.                               （7分）

验证：当直线的方程为时，直线和双曲线有两个交点，符合题意.

                                                                    （8分）

17.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，,两点分别是的中点. 

⑴求异面直线所成角的余弦值的大小；

⑵求平面与平面锐二面角的余弦值的大小.

解：⑴以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，依题意得

.     （1分）

                                        （2分）

.      （3分）

则  （4分）

所以异面直线所成角的余弦值为.     （5分）

⑵在上述空间直角坐标系中容易得.          

设平面和平面的法向量分别为，

则,即， 

同理,即，            （7分）

取为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， 

设平面与平面锐二面角的大小为，则.       （9分）

所以平面与平面锐二面角的余弦值为.           （10分）

18.（本小题满分12分）

已知中,且三个内角满足.

⑴求点的轨迹的方程；

⑵过点作直线（斜率存在且不为0）与轨迹交于两点，与交于点.若

,问：是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.

解：⑴由题意和正弦定理得

，即.    （2分）

所以点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆（除去它和长轴的交点）. 

所以点的轨迹方程是点.             （4分）（没有写范围扣1分）

⑵依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为.则.    （5分）

设,则

                                        （6分）

                                                 （7分）

因为在已知椭圆上，

所以                                             （8分）

所以

所以                                        （10分）

即

因为，否则重合.

所以.                                                        （12分）

方法二、

依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为. 则.    （5分）

设,

联立方程组，消去，得        （7分）

（*）                                    （8分）

又

且

                                               （10分）

将（*）代入上式，得.                                     （12分）