数值分析试卷5

2009-2010 第一学期硕士研究生期末考试试题 （A 卷）

注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（10 分）设求A的Doolittl分解，并由分解式求行列式  A  。

二、（14 分）设方程组 Ax = b为

(1)写出 Jacobi 迭代及 Gauss-Seidel 迭代格式，并证明 Gauss-Seidel 迭代收敛；

(2)求矩阵 A 的条件数Cond(A)∞。

三、（12 分）确定常数 a，b，c，使迭代式局部收敛到x* ，并有尽可能高的收敛阶数，并指出这个阶数。

四、（12 分）已知数据

设求常数 a、 b，使得

五、（ 14分）已知 y=f (x)的数据如下 ：

（1）求f (x)的 Hermite 插值多项式 H（3）；

（2）为求的值，采用算法：，试导出截断误差 R。

六、（12 分）定义内积，计算得，对k，j=0，1，2…n有

对给定的连续函数f (x)，求f (x)在区间 [-π, π]上形如的最佳平方逼近元素。

七、（12 分）已知 Legendre(勒让德)正交多项式 ) Ln(x)有递推关系式：

据此确定常数Ai、xi使求积公式

的代数精度尽可能高，并问是否是 Gauss 型公式。

八、（14 分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：

（1）验证它是二阶方法；

（2）确定此单步法的绝对稳定域。