上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.

1999年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：高等代数

1．（10分）设P为数域。令；。证明：若与互素，则与也必互素。

2．（10分）设J为元素全为1的阶方阵。

（1）求J的特征多项式与最小多项式；

（2）设为复数域上多项式。证明必相似于对角阵。

3．（10分）

（1）设n阶实对称矩阵，其中且，求A的n个特征值。

（2）设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零，证明：。此处E为n阶单位阵。

4（10分）设是数域F上的二次多项式，在F内有互异的根，设A是F上线性空间L的一个线性变换且，（I为单位变换）且满足，证明为A的特征值；且L可以分解为A的属于的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：

6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：

7（10分）假设A为实矩阵，B为实矩阵，表示A的转置矩阵。证明：

（1）AB=0的充要条件是；

（2）矩阵与矩阵A有相同的秩。

8（10分）设均为n阶矩阵且。证明这p个矩阵的秩之和小于等于，并举例说明等式可以达到。

9（10分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。

10（10分）设W为欧氏空间V的一个子空间。证明若对任意，则

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2003年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：高等代数

1（15分）设，求.

2（15分）以表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明,,,是P上线性空间的一组基。

3（15分）证明：阶实对称矩阵A的秩为r,，当且仅当A可以写成，其中B为阶满秩矩阵，C为阶可逆实对称阵。

4（15分）假设被整除。证明：,被整除。

5（15分）设A为阶反对称实矩阵，,其中，证明。

6（15分）n阶方阵A满足等式，当且仅当。

7（20分）设A，B都是n阶实方阵，并设为BA的非零特征值；以表示BA关于的特征子空间。（1）证明：也是AB的特征值；（1）证明：维数=维数。

8（20分）设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。

9（20分）记，P为数域。假设有特征值，但均不是A的特征值。试证明：V的变换为同构。

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1999年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一 选择题（每题3分，共15分）

1．设在处连续但不可导，则满足不等式

A．

B．

C．

D．

2．若，则下列结论正确的是

A．

B．在内的任一子区间内至少有一个连续点；

C．可能在上每一点都不连续；

D．可能在上所有无理点处都不连续。

3．若曲线与在点处相切，则系数的值为

A．

B．

C．

D．

4．二次积分的另一积分次序为

A．

B．

C．

D．

5．曲线积分的值为（）。

其中C是闭曲线的正向。

A．0

B．

C．

D．

二 下列命题是否正确，若正确证明之，若错误试举例说明。（每题5分，共25分）

1．若在连续且有界，则在上必一致连续。

2．若在点的邻域内二阶可导，且，则为的极小值。

3．若广义积分收敛，且，则A=0。

4．若在点的任何邻域内均无界，则在处必不可微。

5．若级数收敛，则对的任一子列都有收敛。

三计算下列极限（试写出计算过程及理由。共18分）

1.,

2.

3.

四（10分）设为实数列，.证明必存在子列，使收敛。

五（10分）设函数在上非负，（为有限数），又在上连续。试证

六（12分）设函数列在区间I上一致收敛于，且在I上一致连续()。证明：在I上也一致连续。

七（10分）设函数都在上连续，且，又，证明：至少存在一点，使。

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2003年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一判断以下各题，正确的给出证明，错误的举反例并说明理由。（每小题6分，共24分）

1．若在R上有定义，且在所有无理点处连续，则在R上处处连续。

2．若,连续，则连续。

3．任意两个周期函数之和仍为周期函数。

4．若函数在区域D内关于x,y的偏导数均存在，则在D内必连续。

二（12分）设在上无界，试证对任意,在上至少有一点x，使得在的邻域上无界。

三（12分）设对任意有且在和处连续。试证明在R上为常数。

四（12分）已知，且，试求

五（12分）若实系数多项式,的一切根均为实数。试证明导函数也仅有实根。

六（12分）设收敛，级数收敛。试证级数收敛。

七（12分）设,是严格单调增加的连续函数，是它的反函数。试证明对有

八计算题（每小题12分，共24分）

1．求函数在条件下的极值。

2．计算积分，其中V为由曲面,和所围成的区域。

九（10分）设在上一致连续，且对任意的有，是试证

十（10分）试证：

十一（10分）设函数在上连续，在内可导，且是非线性函数。试证存在，使得

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2002年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一判断题（以下个题，对的要证明，错的要举反例并说明理由，每题6分，共24分）

1．若，而数列收敛，则数列,必都收敛。

2．若函数在R上连续且有界，则在R上必一致连续。

3．若函数恒正连续，且无穷积分收敛，则必有。

4．若函数列,均在区间I上一致收敛，则,必在I上一致收敛。

二（10分）设在上连续，在上一致连续，且

证明在上一致连续。

三（10分）设在R上二次可导，.又存在一点使，且

证明在R上有且仅有两个零点。

四（10分）设在R上连续，又单调递减，证明,

五（16分）讨论级数

（1）,

（2）,的敛散性。

六不清楚

七（10分）称在点处严格递增，是指,,时，而当时。现设在上每点处均严格递增。证明：在上严格递增。

八（10分）设，证明

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2001年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一试判断下列命题的真伪。若真，证明之；若伪，举反例。（20分）

1．数列收敛于a的充要条件是对于任意给定的正数，在中含有数列中的无穷多项。

2．函数f在上可积必绝对可积（包括定积分与广义积分）

3．若函数f在上连续，且在点取得最小值，则存在正数使得f在中单调减，在中单调增。

4．若存在，则与均存在。

二计算或证明下列各题，需写出具体过程。（32分）

1．设方程组决定了u是x,y的函数，求与。

2．求积分的值。

3．设，讨论函数列在上的一致收敛性。

4．设函数f在上连续，且对于任一自然数n与成立，证明：f为上的常值函数。

三（12分）在椭圆上求点，使得通过点M的法线与原点距离最远。

四（12分）设二元函数在上连续，含参广义积分在发散，判断关于y在上的一致收敛性且证明之。

五（12分）设f为上的单调增函数，且,证明：存在使得.

六（12分）设函数f在的某一邻域上有定义，且在点有左、右导数，又设上的数列与满足()且。证明：存在与子列与使得

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2000年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一试判断下列命题的真伪。若真，证明之；若伪，举反例。（20分）

2．在内连续的充要条件是对,f在上一致连续。

3．在点可导的充要条件是f在点既左可导又右可导。

4．可积函数的复合函数为可积函数。

5．若收敛，则收敛。

二计算或证明下列各题，需写出具体过程。（40分）

1．求

2．求函数的全微分。

3．证明：若为上的连续递增函数，则成立不等式

4．求无穷积分,

5．求，其中S为球面，取内侧。

三（10分）设为非负递增数列，对，有，证明：存在的子列，使得。

四（10分）设,是非空有限集，且,,

求极限，其中

五（10分）证明：若级数的项加括号后所作成的级数收敛，并且在同一个括号内项的符号相同，那么去掉括号后，此级数亦收敛；并由此讨论级数的收敛性。

六（10分）设可微函数列在上收敛，在上一致有界。证明：在上一致收敛。