2008年广东高考试题数学理(免费)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：如果事件互斥，那么．

已知是正整数，则．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（    ）

A．             B．            C．           D． 

2．记等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．16              B．24                C．36               D．48

A．24           B．18         C．16            D．12                    表1        

4．若变量满足则的最大值是（   ）

A．90            B．80            C．70          D．40

5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（    ）

6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（   ）

A．         B．        C．          D． 

7．设，若函数，有大于零的极值点，则（    ）

A．           B．        C．              D． 

8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（    ）

A．       B．        C．        D． 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~12题）

9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出

          ，          ．

（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）

10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于

120，则         ．

11．经过圆的圆心，且与直线垂直

的直线方程是           ．

12．已知函数，，则的

最小正周期是          ．

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为          ．

14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是             ．

15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径           ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数，的最大值是1，其图像经过点．

（1）求的解析式；

（2）已知，且，，求的值．

17．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

18．（本小题满分14分）

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

19．（本小题满分14分）

设，函数，，，试讨论函数的单调性．

20．（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）证明：是直角三角形；

（3）当时，求的面积．

21．（本小题满分12分）

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．

（1）证明：，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

绝密★启用前                                 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参

一、选择题：C D C C     A D B B

1．C【解析】，而，即， 

2．D【解析】，，故

3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为

4．C  5．A

6．D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题

7．B【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。

8．B    

二、填空题： 

9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。

10．【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。

11．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。

12．【解析】，故函数的最小正周期。

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．【解析】由解得，即两曲线的交点为。

14． 

15．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解：（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；

（2）依题意有，而，

，

。

17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；， 

， 

故的分布列为：

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得

所以三等品率最多为

18．解：（1）由得，

当得， G点的坐标为，

，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，

由椭圆方程得点的坐标为，即，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,

以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

19．解：， 

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

20．解：（1）在中，

， 

而PD垂直底面ABCD， 

,

在中，,即为以为直角的直角三角形。

设点到面的距离为,

由有,

即，

;

(2),而,

即,，,是直角三角形；

（3）时, ,

即,

的面积

21．解：（1）由求根公式，不妨设，得

， 

（2）设，则，由

得，，消去，得，是方程的根，

由题意可知， 

①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，

由等比数列性质可得, ,

两式相减，得

，， 

， 

，即， 

②当时，即方程有重根，，

即，得，不妨设，由①可知

，， 

即，等式两边同时除以，得，即

数列是以1为公差的等差数列， 

综上所述， 

（3）把，代入，得，解得