2013年天津市中考数学试卷及答案

∴AE=CE，DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC=BC，点D是边AB的中点，

∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCF矩形．

故选A．

②小亮以升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；

③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；

②小亮以升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；

③如图所示：

当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；

综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．

故选C．

，

∴△ABC≌△BAD（AAS），

∴AC=BD，AD=BC．

故答案为：AC=BD（答案不唯一）．

∴∠B=∠C=60°，AB=BC；

∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；

∴∠BAD+∠ADB=120°

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°，

∴∠DAB=∠EDC，

又∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△DCE，

则=，

即=，

解得：CE=2，

故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．

故答案为：7．

（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求

（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，

与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，

则四边形DEFG即为所求．

故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求

（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；

（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．

∴把点A的坐标代入解析式，得

3=，

解得，k=6，

∴这个函数的解析式为：y=；

（Ⅱ）∵反比例函数解析式y=，

∴6=xy．

分别把点B、C的坐标代入，得

（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．

3×2=6，则点C中该函数图象上；

（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，

又∵k＞0，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．

m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；

（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，

∴这组数据的平均数为：16，

∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，

∴这组数据的众数为：10，

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，

∴这组数据的中位数为：（15=15）=15；

（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，

∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，

∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．

故答案为：50，32．

（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．

∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∴∠BAC=∠DAC=30°；

（Ⅱ）如图②，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°﹣∠B，

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，

在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，

∴∠AEF+∠B=180°，

∴∠B=180°﹣108°=72°，

∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．

∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD，

∵AD=AB+BD，

∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），

∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，

∴tan36°=，

∴BD=CD•tan36°，

∴CD•tan36°=CD﹣112，

∴CD=≈≈415（m）．

答：天塔的高度CD为：415m．

100+（290﹣100）×=+10；

在乙商场：50+（290﹣50）×=278，

50+（290﹣50）×=+；

（2）根据题意得出：

+10=+，

解得：x=150，

∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，

（3）由+10＜+，

解得：x＞150，

+10＞+，

解得：x＜150，

yB=+50（1﹣95%）=+，正确；

∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；

当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．

∴OA=2，OB=4．

∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，

∴△OAE∽△OBA，

∴=，即=，

解得，OE=1，

∴点E的坐标为（0，1）；

（Ⅱ）①如图②，连接EE′．

由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．

在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=m．

又BE=OB﹣OE=3，

∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，

∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．

当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．

②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．

易证△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A=BE′，

∴A′B+BE′=A′B+B′A′．

当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．

易证△AB′A′∽△OBA′，

∴==，

∴AA′=×2=，

∴EE′=AA′=，

∴点E′的坐标是（，1）．

①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；

②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值；若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在x轴下方，因为3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．

∴c=．  ∴y1=ax2+bx+，

∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+上，

∴，解得，

∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x2+x+；

（II）∵y1=﹣x2+x+，

∴y1=﹣（x﹣1）2+3，

∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．

①由题意得，t≠3，

如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，

∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，

∴四边形ANMP为菱形，

∴PA∥l，

又∵点P（x，y2），

∴点A（x，t）（x≠1），

∴PM=PA=|y2﹣t|，

过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），

∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，

在Rt△PQM中，

∵PM2=QM2+PQ2，即（y2﹣t）2=（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2=（x﹣1）2+，

即y2=x3﹣x+，

∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，

∴P（1，）， ∴P点坐标也满足上式，

∴y2与x之间的函数关系式为y2=x3﹣x+（t≠3）；

②根据题意，借助函数图象：

当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），

∵3＞，

∴不合题意，

当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，

y1﹣y2=﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]

=（x﹣1）2+，

若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，

只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，

∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；

若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．

综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．