原子物理习题解答1

1.1 电子和光子各具有波长0.20nm,它们的动量和总能量各是多少?

解：由德布罗意公式,得：

1.2 铯的逸出功为1.9eV,试求: (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为1.5eV的光电子,必须使用多大波长的光照射?

解：(1) 由爱因斯坦光电效应公式知,铯的光电效应阈频率为:

阈值波长: 

(2) 

故: 

1.4 若一个电子的动能等于它的静止能量,试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?

解：（1）由题意知，，所以

（2）由德布罗意公式得：  

1.5 (1)试证明: 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于,式中和分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量. 

(2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?

(1)证明：粒子的康普顿波长: 

德布罗意波长:    

所以,    

(2)解：当时，有，即： 

故电子的动能为： 

1.6 一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线,测得波长的精度为,试问该原子态的寿命为多长?

解：  

由海森伯不确定关系得： 

1.7 一个光子的波长为300nm,如果测定此波长精确度为.试求此光子位置的不确定量.

解：   ，或：

由海森伯不确定关系得： 

2.2 当一束能量为4.8MeV的α粒子垂直入射到厚度为cm的金箔上时,探测器沿20°方向每秒纪录到个α粒子.试求: 

(1)仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可纪录到多少个α粒子?

(2)若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子?

(3) α粒子能量仍为4.8MeV,而将金箔换成厚度相同的铝箔, 则沿20°方向每秒可纪录到多少个α粒子?(金和铝的密度分别为19.3g/cm3和2.7g/cm3,原子量分别为197和27,原子序数分别为79和13.忽略核的反冲).

解：由公式, 

(1) 当时, 每秒可纪录到的α粒子满足:

故  (个)

(2) 由于,所以  (个)

(3) 由于,故这时:

(个)

2.3 动能为40MeV的α粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?

解：由公式:, 当对心碰撞时, , ,则

2.4 动能为0.87MeV的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角时,它们之间的最小距离是多少?

解：最小距离为: 

2.5 试证明α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90°时相对应的瞄准距离的两倍。

证明：由库仑散射公式：，当时，，这时

而对心碰撞的最小距离：

   证毕。

2.6 已知氢的赖曼系、巴尔末系和帕邢系的第一条谱线的波长分别为：121.6nm,656.3nm和1875.1nm.由此还可以求出哪些系的哪几条谱线来?它们的波长各为多少?

解: 由题意知:                         (1)

                     (2)

                    (3)

由(1)+(2)式得:            

由(1)+(2)+(3)式得:  

由(2)+(3)式得:          

其中,和分别是赖曼系第二、三条谱线;是巴尔末系第二条谱线.

2.7 试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.

解: 电子经电势差为U的电场加速后,若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子电离,则U称为该原子的电离电势; 若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子激发到第一激发态,则U称为该原子的第一激发电势.

由  ,，对于基态氢原子, Z=1, 

由  

得电离电势为13.V

由  

得第一激发电势为10.23V.

2.8 对于氢原子、一次电离的氦离子He+和两次电离的锂离子Li2+，分别计算它们的：（1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能；（3）第一激发电势及共振线的波长。

解：（1）He+： (m/s)

(m/s)

Li2+： (m/s)

(m/s)

（2）电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量：

对于He+有： (eV)

对于Li2+有： (eV)

（3）

对于He+有： (eV)

所以He+的第一激发电势为40.8V

对于Li2+有： (eV)

所以Li2+的第一激发电势为91.8V.

共振线波长: 

2.9 能量为12.6eV的电子射入氢原子气体中，气体将发出哪些波长的辐射？

解： 由，得

，，，，…

而，，

但，所以气体将发出以下三种波长的辐射：

2.11 一次电离的氦离子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。

解：He+所辐射的光子能量：

氢原子电离所需要的能量为，所以，放出的电子动能为

，

速度为：   m/s

2.14 已知氢和重氢的里德伯常数之比为0.999728,而它们的核质量之比为mH/mD=0.50020.计算质子质量与电子质量之比.

解: 由和知:

解得: 

2.15 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时,(1)试求这个氢原子所获得的反冲速度是多大?(2)试估计氢原子的反冲能量与所发光子能量之比.

解: (1) 放出的光子的动量:  

由动量守恒定律得氢原子的反冲速度为:  

(2) 反冲能量  

显然    可见反冲能量是可以忽略不计的.

3.2 一粒子在一维无限深势井中运动，已给，求归一化常数A；又若，A=？，粒子在何处几率最大？

解：由归一化条件，在粒子可能出现的空间发现粒子的总几率等于1，因此：

得:           .

同理，若，由归一化条件可得：

则  ，.

粒子出现几率最大处对应:,

有 

易求得    (由波函数的连续性，x=0,或x=a两个解舍去)

所以, 粒子在处出现的几率最大.

4.2 钠原子基态为3s，已知其主线系第一条线（共振线）波长为5.6nm，漫线系第一条线的波长为819.3nm，基线系第一条线的波长为1845.9nm，主线系的系限波长为241.3nm，试求3S,3P,3D,4F各谱项的项值。

解：由题意知： 

由 

得： 

由 

得： 

又由 

得： 

4.4 处于3D激发态的锂原子，向低能级跃迁时可产生哪些光谱线？在能级图上表示出来：（1）不考虑精细结构；（2）考虑精细结构。

解：（1）不考虑精细结构时，如图（a）所示。

（2）考虑精细结构时，如图（b）所示。

(图a)

                                                      （图b）

4.6 钠原子共振线的双线波长分别为5.0nm和5.6nm，试求3P能级精细结构的裂距。

解： 

5.1某原子含有若干封闭壳层和封闭次壳层,当未满次壳层内有同科电子p5(或p4)时,试证明按L-S耦合,可能的原子态和单个p电子(或p2)可能形成的原子态相同.同样可推知,原子中未满次壳层同科电子d9与d电子、(d8与d2电子) 可能形成的原子态相同.

证明: 若未满次壳层的情况能容纳的电子总数为N=2(2l+1).未满壳时的电子数为x,则(nl)x与(nl)N-x的角动量L和自旋角动量S相等,这是由于满壳层时有

,  ;  ,  

于是(nl)x的总角动量对应的与(nl)N-x的总角动量对应的等值反号,它们对应的角动量大小L是相同的.类似地,与也是等值反号,对应的自旋角动量大小S相同.

这样,对l=1的p次壳层,由于最多可容纳6个电子,所以p5与p1或者p4与p2的电子组态具有相同的角量子数L和自旋量子数S,因此可能形成的原子态相同.同样,对于同科d电子,由于满壳层时有10个电子,所以d9与d或d8与d2电子的各角量子数分别相等,可能形成的原子态也相同.

5.2已知氦原子的2p3d 组态所构成的光谱项之一为3D,问这两个电子的轨道角动量L1和L2之间的夹角,自旋角动量S1和S2之间的夹角分别是多少?

解: 对组态为2p3d的两个电子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.

轨道角动量大小为  ,  

它们构成的光谱项3D对应的 l = 2  , s = 1

即它们总的轨道角动量L的大小为 

它们总的自旋角动量S的大小为   

由L = L1 + L2 ,如右图所示,可得轨道角动量L1和L2之间的夹角

则: ,  .

类似地自旋角动量S1和S2的大小为  

则自旋角动量S1和S2之间的夹角

得:  ,   .

5.3按L-S耦合写出下列组态所组成的全部原子态,并写出原子态符号.

(1)    (2)   (3)   (4)   (5) 

解: (1), ,  ,.构成1S0,3S1.

(2), ,  ,.构成的原子态如表(2).

(3), ,  ,.构成的原子态如表(3).

(4), ,  ,.构成的原子态如表(4).

(5),  ,.构成的原子态如表(5).

解: 3s3s构成基态1S0；3s3p构成3p1P1和3p3P2,1,0; 3s4s构成4s1S0和4s3S1。出现的谱线如图所示：

5.6 已知He原子的一个电子被激发到2p轨道,而另一个电子还在1s轨道,试作出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线的跃迁.

解: 原子基态为1s1s1S0;激发态1s2p构成原子态1s2p1P1和1s2p3P2,1,0.激发态1s2s构成原子态1s2s1S0和1s2s3S1. 可能出现的光谱线的跃迁如图所示.

5.7 Pb原子基态的两个价电子都在6p轨道,若其中一个

价电子被激发到7s轨道,而其价电子间相互作用属于

j-j耦合.问此时Pb原子可能有哪些状态.

解: 铅原子的基态为6p6p3P0(6p6p构成的原子态有1S0;3P2,1,0;1D2);激发态6p7s的两个电子量子数,s1=1/2; l2=0,s2=1/2  由j-j耦合可得: j1=3/2,1/2 ;j2=1/2.

由j1=1/2, j2=1/2 得j=1,0  构成(1/2,1/2)1,(1/2,1/2)0两个原子态;

j1=3/2, j2=1/2 得j=2,1  构成(3/2,1/2)2,(3/2,1/2)1两个原子态.可见,共有4个不同的原子态.

5.8铍原子基态的电子组态是2s2,若其中有一个电子被激发到3p态,按L-S耦合可构成哪些原子态?写出有关的原子态符号,从这些原子态向低能态跃迁时,可以产生几条光谱线?

解: 铍原子(Z=4)基态为2s21S0,对于激发态2s3p

, , , , 所以, 

构成的原子态有:1P1,3P2,1,0四个原子态;2s3s组态有1S0,3S1两个

谱项,2s2p组态有1P1,3P2,1,0,可以产生的光谱线如图所示.

5.9 求出第二周期个原子基态光谱项,并与表5.1.3相比较.

解: Li(锂)原子,Z=3,基态电子组态1s,谱项:2S1/2.   (l=0,s=1/2)

Be(铍)原子,Z=4,基态电子组态2s2,谱项:1S0.   (l=0,s=0)

B(硼)原子,Z=5,基态电子组态2p,谱项:2P1/2.   (l=1,s=1/2)

C(碳)原子,Z=6,基态电子组态2p2.l1=l2=1,s1=s2=1/2,按照泡利原理,ml=(1,0,-1), ,(ml1,ms1)与(ml2,ms2)中至少应有一个不相同.依据洪特定则,S最大取1,这时L最大为1.又由于这时两个电子少于半满电子数,为正序,故基态谱项为3P0.

N(氮)原子,Z=7,基态电子组态2p3.l1=l2=l3=1,s1=s2=1/2,ml=(1,0,-1),ms=±1/2,当三个电子ml分别取1,0,-1时,它们的自旋磁量子数可相同,于是取S=3/2,这时, ,故基态谱项为4S3/2.

O(氧)原子,Z=8,基态电子组态2p4.在2p3的基础上再加一个2p电子,这时最大S等于1, L最大为1.故基态谱项为3P2.(4个电子大于半满电子数,反序)

F(氟)原子,Z=9,基态电子组态2p5.在2p3的基础上再加两个2p电子,这时最大S等于1/2, L=1.故基态谱项为2P3/2.(反序)

Ne(氖)原子,Z=10,基态电子组态2p6.相当于两个2p3相加,这时S=0,L=0.故基态为1S0.

5.10.(1)波长为0.21nm的X射线在NaCl晶体的天然晶面上“反射”.已知掠入角为21°55’时发生第一级“镜反射”,试确定晶体的点阵常数d;

(2)根据求得的d值和NaCl的密度kg/m3,计算阿伏伽德罗常数.已知Na的原子量为22.99,Cl的原子量为35.36.

解: (1), ,nm.由得

(2) 略.

5.11.测得当工作电压为35kV时,由钼靶发出的伦琴射线连续谱最短波长为0.0355nm,试计算普朗克常数h.

解:由  得

5.12.已知钨的K吸收限波长.则要产生钨的K线系标识谱,X射线管工作电压至少应为多大?

解:要使钨产生K线系标识谱, 需使K壳出现空位,这时X射线管的工作电压应能使K壳层的电子电离,这正好对应K吸收限波长的,

由,  得