河北省唐山市2016-2017高三摸底考试数学(文)试卷(附标准答案)

一、选择题：本大题共12小题，没小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项符合题目要求。

1．已知向量a ＝（1，t ），b ＝（－2，1），若a //b ，则t ＝

A ．－2

B ．－12

C ．2

D ．12

2．已知集合｛1，2｝⊆A ⊆｛1，2，3，4，5｝，则满足条件的集合A 的个数是

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

3．在等比数列{}n a 中，1a ＋2a ＋3a ＝21，2a ＋4a ＋6a ＝42，则9S ＝

A ．255

B ．256

C ．511

D ．512

4．设函数)(x f y =（R x ∈），“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．要得到函数()x x f 2sin =，R x ∈的图像，只需将函数()x x g 2cos =，R x ∈的图像

A ．向右平移

4

π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 6．若,x y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤-+≥+≥+-010203y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为

A ．3

B ．0

C ．－3

D ．－5

7．已知F1，F2是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为

A ．1

B ．2

5 C ．2 D ．5 8．执行如图所示的程序框图，若输入1=a ，2=b ，则输出的x ＝

A ．1.25

B ．1.375

C ．1.4375

D ．1.40625

9．设0x 是方程x x =⎪⎭

⎫ ⎝⎛31的解，则0x 所在的范围是 A ．⎪⎭⎫

⎝⎛31,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 D ．⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,31 10．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

A ．3

B ．3

8 C ．6226++ D ．226+

11．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面分别交直线PA ，CD 于M ，N 两点，则PM ＋CN ＝

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

12．设函数()a ax x x x f -+--=5323，若存在唯一的正整数0x ，使得()00A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0

B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛45,31

C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,31

D ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛23,45

二、填空题：本大题共4小题，没小题5分，共20分。

13．已知复数z 满足()i z i 41=-，则|z|＝

14．若2

1tan =θ，则=θ2cos 15．已知抛物线y x 42=与圆C ：()()22221r y x =-+-（0>r ）有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线

与圆C 也相切，则r ＝

16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝5，CD ＝33，∠A ＝60°，∠D ＝150°，则BC ＝

三、解答题：

17．（本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S ＝110，15S ＝240．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令211-+=

++n n n n n a a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊥PB ，PC 与平面ABCD 所成角的正切值为

2

2，△BCD 为等边三角形，PA ＝22，AB ＝AD ，E 为PC 的中点． （Ⅰ）求AB ；

（Ⅱ）求点E 到平面PBD 的距离．

19．（本小题满分12分）某班一次数学考试成绩分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，已知成绩大于等于90分的人数为36人，采用分层抽样的方式抽取一

个容量为10的样本．

（Ⅰ）求每个分组所抽取的学生人数；

（Ⅱ）从数学成绩在[110，150）的样本中任取2人，求恰有1人成绩在[110，130）的概率．

20．（本小题满分12分）

如图，过椭圆E ：()22

2210x y a b a b

+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，A ，B 分别为E 的右顶点，上顶点，且AB//OP ，|AF|＝12+．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）C,D 为E 上的两点，若四边形ACBD （A ，C ，B ，D 逆时针排列）的对角线CD 所在直线的斜率为1，求四边形ACBD 面积S 的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数()x

x x f 1ln +

=． （Ⅰ）求()x f 的最小值；

（Ⅱ）若方程()a x f =有两个根1x ，2x （1x <2x ），证明：1x ＋2x >2．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△ABC 与△ABD 都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分∠ABC ，且OD//BC ． （Ⅰ）证明：A,B,C,D 四点共圆，且O 为圆心；

（Ⅱ）AC 与BD 相交于点F ，若BC ＝2CF ＝6，AF ＝5，求C,D 之间的距离．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程式2=ρ，矩形ABCD 内接于曲线C1，A,B 两点的极坐标分别为（2，

6π）和（2，6

5π）．将曲线C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．

（Ⅰ）写出C,D 的直角坐标及曲线C2的参数方程；

（Ⅱ）设M 为C2上任意一点，求2222MD MC MB MA +++的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()11-++=mx x x f ．

（Ⅰ）若m ＝1，求()x f 的最小值，并指出此时x 的取值范围；

（Ⅱ）若()x x f 2≥，求m 的取值范围．

唐山市2016—2017学年度高三年级摸底考试

文科数学参

一、选择题：

A 卷： BDCBA

CACDB CB B 卷： BACBD

CADDA CB 二、填空题：

（13）2 2 （14） 3 5 （15） 2 （16）7

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）设公差为d ，依题意有

⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10⨯92d ＝110，15a 1

＋15⨯142d ＝240． 解得，a 1＝d ＝2．

所以，a n ＝2n ．

…6分 （Ⅱ）b n ＝2n ＋22n ＋2n 2n ＋2－2＝n ＋1n ＋n n ＋1－2＝ 1 n －1n ＋1

， T n ＝1－ 1 2＋ 1 2－ 1 3＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 n －1n ＋1＝n n ＋1． …12分

（18）解：

（Ⅰ）连接AC ，

∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PCA 即为直线PC 与平面ABCD 所成的角．

∴tan ∠PCA ＝PA AC ＝22，PA ＝22，得AC ＝4．

∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，

又∵BC ⊥PB ，PB ∩PA ＝P ，

∴BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，

∴BC ⊥AB ．

∵△BCD 为等边三角形，AB ＝AD ，

∴∠ACB ＝30°，又Rt △ACB 中，AC ＝4．

∴AB ＝AC sin 30°＝2．

…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PB ＝PD ＝BD ＝BC ＝CD ＝23，

∴S △PBD ＝S △BCD ．

设点E 到平面PBD 的距离为h ，

∵E 为PC 中点，

∴点C 到平面PBD 的距离为2h ．

由V C -PBD ＝V P -BCD 得 1 3S △PBD ·2h ＝ 1 3S △BCD ·PA ， 解得h ＝2． …12分

（19）解：

（Ⅰ）由频率分布直方图可知，数学成绩在[70，90)，[90，110)，[110，130)，

[130，150]内的频率分别为0.1，0.4，0.3，0.2．

∴成绩在[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]内的人数之比为 1∶4∶3∶2，

∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本，成绩在[70，90)，[90，110)， D

A B C P E

[110，130)，[130，150]内所抽取的人数分别为1，4，3，2． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从[110，130)，[130，150]两组抽取人数分别为3人和2人，

记从[110，130)中抽取的3人分别为A 1，A 2，A 3，从[130，150]中抽取的2人分别为B 1，B 2．从这5个人中任取2人，有

{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共计10种等可能的结果，

其中恰有1人成绩在[110，130)包含{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共计6种等可能的结果，

∴抽取的2人中恰有1人成绩在[110，130)的概率P ＝ 6 10＝ 3

5．

…12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意可得P (－c ，b 2a )，所以k OP ＝－b 2ac ，k AB ＝－ b

a ．

由AB ∥OP ，所以－b 2ac ＝－ b

a ，解得

b ＝

c ，a ＝2c ， 由|AF |＝a ＋c ＝2＋1得b ＝c ＝1，a ＝2，

故椭圆E 的方程为x 22＋y 2

＝1.

…4分

（Ⅱ）依题意可设直线CD ：y ＝x ＋m （－2＜m ＜1），C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 将直线CD 的方程代入椭圆E 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－4m

3，x 1x 2＝2m 2－23，

|CD |＝2|x 1－x 2|＝ 4

33－m 2．

…7分

A (2，0)到直线CD 的距离d 1＝2

2|2＋m |＝1＋2

2m ； B (0，1)到直线CD 的距离d 2＝2

2|m －1|＝2

2－2

2m ．

所以四边形ACBD 面积S ＝ 1 2·|CD |·(d 1＋d 2)＝ 2

3(1＋22)

·3－m 2，

所以当m ＝0时，S 取得最大值23＋6

3． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f (x )＝ 1 x －1x 2＝x －1

x 2，（x ＞0）

所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故f (x )的最小值为f (1)＝1． …4分

（Ⅱ）若方程f (x )＝a 有两个根x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）， 则ln x 1＋ 1 x 1

＝ln x 2＋ 1 x 2

，即x 2－x 1x 1x 2

＝ln x 2

x 1

＞0．

要证x 1＋x 2＞2，需证(x 1＋x 2)·x 2－x 1x 1x 2＞2ln x 2

x 1，

即证x 2x 1－x 1x 2＞2ln x 2

x 1

，

设x 2x 1＝t （t ＞1），则x 2x 1－x 1x 2＞2ln x 2x 1

等价于t － 1

t ＞2ln t ．

令g (t )＝t － 1t －2ln t ，则g (t )＝1＋ 1t 2－ 2t ＝(

1－ 1t )

2

＞0，

所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增，g (t )＞g (1)＝0，

即t － 1

t ＞2ln t ，故x 1＋x 2＞2．

…12分

（22）解：

（Ⅰ）因为△ABC 与△ABD 都是以AB 为斜边的直角三角形， 所以A ，B ，C ，D 四点都在以AB 为直径的圆上． 因为BD 平分∠ABC ，且OD ∥BC ，

所以∠OBD ＝∠CBD ＝∠ODB ，OB ＝OD ．

又∠OAD ＋∠OBD ＝90°，∠ODA ＋∠ODB ＝90°， 所以∠OAD ＝∠ODA ，OA ＝OD ．

所以OA ＝OB ，O 是AB 的中点，O 为圆心．

…5分

（Ⅱ）由BC ＝2CF ＝6，得BF ＝35,

由Rt △ADF ∽Rt △BCF 得AD DF ＝BC

CF ＝2．

设AD ＝2DF ＝2x ，则AF ＝5x ，

由BD 平分∠ABC 得BD DA ＝BC

CF ＝2，

所以35＋x

2x ＝2，解得x ＝5，即AD ＝25． 连CD ，由（Ⅰ），CD ＝AD ＝25．

…10分

（23）解：

（Ⅰ）由A (3,1)、B (－3,1)得C (－3,－1)、D (3,－1)；

曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，

y ＝sin θ（θ为参数）．

…5分

（Ⅱ）设M (2cos θ, sin θ),则

|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＋|MD |2

＝(2cos θ－3)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋3)2＋(sin θ－1)2 ＋(2cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＋(2cos θ－3)2＋(sin θ＋1)2 ＝16cos 2θ＋4sin 2θ＋16＝12cos 2θ＋20， 则所求的取值范围是[20，32]． …10分

（24）解：

（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2， 当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号．

故f (x )的最小值为2，此时x 的取值范围是[－1,1]． …5分

（Ⅱ）x ≤0时，f (x )≥2x 显然成立，所以此时m ∈R ；

x ＞0时，由f (x )＝x ＋1＋|mx －1|≥2x 得|mx －1|≥x －1．

由y ＝|mx －1|及y ＝x －1的图象可得|m |≥1且 1

m ≤1，

解得m ≥1，或m ≤－1．

综上所述，m 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞)．

…10分