数值分析2010.1考试题

一、填空题（每空3分，共30分）

1. 已知是同一数域K上的赋范线性空间，是由到的有界线性算子，则的范数定义为                      .

2. 已知为定义在数域上的内积空间，则对于，由内积导出的范数为                  .

3. Techebichef(切比雪夫)多项式是区间上带权          的正交多项式. 

  4. 设为距离空间，算子是由到的映射. 若存在数，使得任意的恒有                   ，则称算子是上的压缩算子.

5. 设求积分公式为Lagrange插值型求积公式, 则求积系数=                   （公式）.

6. 用数值积分法计算的Simpson(辛普森)公式为

                          . 

7. 求积公式具有          次代数精度.

8. 已知矩阵,则条件数Cond=          .

9. 非线性方程的迭代格式收敛的充分条件

是           . 

10. 设是上一个向量范数，是上一个矩阵范数，则与相容的条件是             .

二、简答题（每小题5分，共15分）

1．在数集中，若定义，问是否为距离空间，并说明理由.

2．什么是巴拿赫（Banach）空间，举一个Banach空间的例子.

3. 叙述内积的定义以及内积满足的Cauchy-Schwarz不等式.

三、（10分）在中定义内积，求出函数在区间上的二次最佳平方逼近多项式. 

四、(10分)

（1）叙述复合（或复化）求积的基本思想，写出复化梯形法计算积分的求积公式；

（2）已知的一组值

五、(10分) 用追赶法求解方程组. 

六、(15分) 已知方程组  

（1) 分别写出该方程组的Jacobi法及Gauss-Seidel的迭代公格式；

（2) 讨论两种迭代法的收敛性；

（3) 取初始值，计算出用Gauss-Seidel方法迭代2次的结果.

七、证明题（每小题5分，共10分）

（1）设矩阵，证明不等式（为算子范数）；

（2）已知矩阵的算子范数，证明矩阵为非奇异矩阵.

三、课程考试题评分标准

一、填空题（每空3分，共30分）

1.；       2.； 

3.；              4. 

5.；

6.；   

7. 三次；                  8.，Cond=7； 

9.；        10..

二、简答题（每小题5分，共15分）

1．答：是距离空间． 因为满足距离的三条公理

 （1），当且仅当时，；

（2）；

（3）．

2．答： 如果赋范线性空间E按距离是完备的（或按范数导出的距离空间是完备的），则称E是Banach空间．

 举例：①在欧氏空间Rn中，若定义范数，则按距离是Banach空间．

② 在连续函数空间中，若定义范数，则按距离是Banach空间．

③ 在平方可积空间中，若定义范数，则按距离是Banach空间．

3. 答：设U是数域K（实或复数域）上的线性空间，若，存在唯一的数与之对应，且满足下列三个条件

① 对第一变元的线性性质：；  

② 共轭对称性：；

 ③ 正定性：，.

则称为的内积，U为内积空间.

Cauchy-Schwarz不等式：.

三、（10分） 

 解  方法1：取Legendre正交多项式

则  

，，，

得正规方程     ，

解出，所以

方法2：最佳平方逼近多项式

令  

， 

，

得正规方程     ，

解出，所以

四、(10分) 

解 （1）将积分区间分为个等长的小区间，每个小区间上利用梯形公式计算积分的近似值，再对这些近似值求和，即得到复化梯形求积公式

，其中；

（2）.

五、(10分) 解：分解

求解方程，即，得

再求解，即，解得。

六、(15分) 

解：（1）Jacobi迭代格式

Gauss-Seidel迭代格式

（2）由于系数矩阵是严格对角占优的，所以Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式都收敛.

（3）将代入Gauss-Seidel迭代格式得

.

七、（每题5分，共10分）

证 （1） 设是的任意一个特征值，是的属于的特征向量，则有，故，又，所以，从而.

（2）反证法：假设为奇异矩阵，则方程组有非零解.

故，. 又，从而，这与已知矛盾，因而为非奇异矩阵.

四、课程考试成绩分析

考试成绩分布合理，大部分同学掌握了本课程的主要内容，教学效果良好。

五、教学建议