26.1二次函数及其图象

【教学内容】二次函数

【教学目标】

知识与能力：能够表示简单变量间的二次函数关系。理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力。

过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验。

情感与态度：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用。

语言积累：二次函数、函数解析式。

【教学重点】

二次函数实例分析、二次函数定义的理解。

【教学难点】

从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：

导语一：回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课。

导语二：观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）。思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课。

导语三：观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线 … … 探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？

二、合作交流，解读探究：

1、用自变量的二次式表示函数关系 

问题① 正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝ 6x2    。（用含x的代数式表示） 

② 圆的面积为S，半径为R，则S =  лr2（用含 R 的代数式表示）

探究l：多边形的对角线d与边数n有什么关系？

思路分析：从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？

答案：从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作n（n-3）条对角线.即d=n（n-3）。

探究2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定。y 与x之间的关系应怎样表示？

解析：一年后的产量为20(1+x). 再过一年后的产量为20(1+x)2。

即两年后的产量为20(1+x)2。

答案：y=20(1+x)2

2、二次函数的定义

观察比较以下关系式

①y=6x2；②d=n（n-3）即；③y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20

函数①②③有什么共同点与不同点。

共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式。

        B．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式。 

一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫二次函数。

注意：

①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视。而b，c的值可以为任何实数。

②定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2++3，也当成二次函数)。

三、应用迁移巩固提高：

类型之一  

二次函数定义的判定及其应用

例1、下列函数是二次函数的有

A.y=8x2+1    B.y=2x-3    C.y=3x2+   D.y=

解析：A 符合二次函数定义，故它是二次函数。B.是一次函数，C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数。【答案】A

点评：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）.

变式题：若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1。

类型之一  实际问题中的二次函数

例2、一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2。

（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.

（2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？

分析：可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积。

解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144

∴y是x的二次函数。

（2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2。

点评：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来。

变式题  一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式。

分析：S表=S侧+2S底

解：S侧=2лr·r=2лr2，S底=лr2，

∴S表=2 S底+ S侧=2лr2+2лr2=4лr2.

点评：S侧=Ch=2лr·h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.

例3、n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式。

分析：将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可。

解：m=n·（n-1），即m=n2-n。

点评：这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。

四、总结反思，拓展升华：

1、通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握。

2、二次函数的概念：

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数称为y关于x的二次函数。

反思：二次函数与一次函数有哪些异同？与反比例函数有哪些异同？

拓展：如果函数是y关于x的二次函数，则k的值为多少?

分析：紧扣二次函数定义。

解：根据题意知

∴k=2。

特别注意：易错点为忽视k≠0的条件。

3、课堂小结：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业：

1、补充作业

（1）正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。

（2）已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。

（3）已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。

（4）已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式。

（5）k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？

2、教材P3/练习1、2。

3、课后作业:《同步训练》。

六、板书设计：

二次函数

（1）定义                 （2）例题                  （3）小结

【教学内容】二次函数y=ax2的图象和性质

【教学目标】

知识与能力：能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质。

过程与方法：经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法。

情感与态度：在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感。

语言积累：二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。

【教学重点】

函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质。

【教学难点】

用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：

导语一：回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、

导语二：展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

导语三：用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

二、合作交流，解读探究：

1、函数y=ax2 的图象画法及相关名称

探究 l：画y=x2的图象

学生动手实践、尝试画y=x2的图象

教师分析：

画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图26-1-1。

共同探究：次函数图像有何特征？

特征如下：

①形状是开口向上的抛物线。

②图象关于y轴对称。

③由最低点，没有最高点.

结合图象介绍下列名称：

①顶点；

②对称轴；

③开口及开口方向.

2、函数y=ax2的图象特征及其性质

探究2：在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象。

学生自己完成此题。教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象。如图26-1-2

比较图中三个抛物线的异同。

相同点：

①顶点相同，其坐标都为（0，0）。

②对称轴相同，都为y轴。

③开口方向相同，它们的开口方向都向上。

不同点：开口大小不同。

练一练：画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象。

分析：仿照探究1的实施过程。

比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点。

相同点：

①形状都是抛物线。

②顶点相同，其坐标都为（0，0）。

③对称轴相同，都为y轴。

④开口方向相同，它们的开口方向都向下.。

不同点：开口大小不同.

归纳：y=ax2的图象特征：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点是原点。

a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点。

a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点。

(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小

三、应用迁移，巩固提高：

类型之一：如何画好二次函数的图象

点拨：画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行。

①列表、取值；

②描点；

③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免。

易错点1：表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可。

易错点2：连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线。

例1、图26-1-3是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象。请你帮助修改。

解：图甲中有两个错误的地方。

①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接。

②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线。

图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错。（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线。

图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线。

点评：此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意。

类型之二  函数y=ax2的图象特征的应用

例2（1）填空：函数的图象是        ，顶点坐标是      ，对称轴是       ，开口方向是       。

（2）函数y=x2，y=，y=-2x2图象如图26-1-4所示，

请指出三条抛物线的名称。

解：（1）可化为y=2x2.它的图象

是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，

开口方向向上。

点评：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误。

（2）根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=x2，x轴下方的为y=-2x2

点评：抛物线y=ax2中，a>0时，开口向上。a<0时，开口向下。|a|越大，开口越小。

四、总结反思  拓展升华：

总结：

1、本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法。②二次函数y=ax2的图象特征及其性质。

2、本节所用的方法：实践比较法。

反思：函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？

它们关于x轴对称。

拓展：已知函数y=ax2经过(1,2)。

（1）求a的值。

（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况。

解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12 ∴a=2。

    (2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小。 

点评：

①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式。

②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小。

3、课堂小结：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业：

1、补充作业。

2、课后作业:《同步训练》。

六、板书设计：

二次函数

(1)定义                     (2)例题                    (3)小结   

【教学内容】抛物线y=ax2上下平移规律

【教学目标】

知识与能力：会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响。能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。了解抛物线y=ax2上下平移规律。

过程与方法：经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法。

情感与态度：进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力。

语言积累：数y=ax2+c的图象与性质以及抛物线y=ax2上下平移规律。

【教学重点】

作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质。

【教学难点】

函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：

1、复习：

（1）二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

（2）二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

方法：课件出示题目；

      指名回答，集体订正。

2、引入：

导语一：回忆二次函数y=ax2的图象与性质。从而导人探求函数y=ax2＋c的图象。

导语二：一个长方形的长为x（cm)，宽为x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？

答案：y=x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线。

导语三：比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课。

二、合作交流，解读探究：

1、二次函数y=ax2+c的图象与性质

做一做：在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象。

教师在学生做完以后，可提供如下解答过程。

解：先列表

想一想：抛物线y=x2+1，y=x2， y=x2-1有哪些相同点和不同点。

相同点：

①开口方向相同，它们的开口都向上。

②对称轴相同，它们都关于y轴对称。

③形状大小相同。

不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合。

议一议：三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？

①用幻灯片展示，将抛物线y=x2向上平移1个单位后抛物线y=x2+1完全重合。

②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x2与y=x2+1完全重合。

③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x2，y=x2+1的形状、大小完全相同。

议一议：抛物线y=ax2与y=ax2±c有何联系？

答案：

①抛物线y=ax2±c的形状与y=ax2的形状完全相同，只是位置不同。

②抛物线y=ax2y=ax2+c. y=ax2y=ax2-c。

练一练：教科书P7练习

答案：

①它们的图象略

②见下表

三、应用迁移，巩固提高：

类型之一  函数y=ax2+c的图象特征与性质的运用

例1、抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x2+3 ，它是由抛物线y=-5x2向 上 平移 3 个单位得到的。

分析：根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c的值，从而可判断平移方向。

解：抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5。

又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3。

∴y=-5x2+3.它是由抛物线y=5x2向上平移3个单位得到的。

点评：

①解这类题，必须根据二次函数y=ax2+c的图象与性质来解.a确定抛物线的形状及开口方向，c确定顶点的位置。

②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位。

类型之二  求二次函数的解析式

例2  若抛物线y=ax2+c经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式

分析：抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求。

解：由已知条件得，

解得 

∴所求解析式为y=6x2-4。

点评：二次函数y=ax2+c中有两个待定系数a、c，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a、c的值。

例3  已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2.试求a、c的值。

分析：这里a、c值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.

解：根据题意知，，

解得，

四、总结反思，拓展升华：

总结：本节知识是函数y=ax2+c的图象与性质以及抛物线y=ax2上下平移规律。

所学的思想方法图象法、数形结合的思想。

反思：若将抛物线y=2x2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x2+3

拓展：若抛物线y=ax2+c与y=-2x2+5关于x轴对称.求a、c的值。

答案：a=2,c= -5.草图如26-1-6

点评：此题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a、c的值。

五、布置作业：

1、教材P14/复习巩固1、2、3、4。

2、补充作业：

（1）若抛物线y=ax2+c经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式。

（2）在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

    y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。

你能说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?

3、课后作业:《同步训练》。

六、板书设计：

二次函数

（1）定义                （2）例题               （3）小结

【教学内容】二次函数y＝a(x—h)2的图象和性质。

【教学目标】

知识与能力：使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

过程与方法：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

情感与态度：培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

语言积累：二次函数y＝a(x—h)2的性质。

【教学重点】

会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

【教学难点】

理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、提出问题：

1、在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，

并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

 (3)说出它们所具有的公共性质。   

方法：课件出示题目；

      指名回答，集体订正。

  2、二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?

方法：课件出示题目；

      指名回答，集体订正。

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察。

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?

教学要点：

1、让学生完成下表填空。

3、教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点：

1、教师引导学生观察画出的两个函数图象。根据所画图象，完成以下填空：

函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?

教学要点：

1、教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；

2、让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。

方法：课件出示题目；

      指名回答，集体订正。

三、课堂巩固练习：

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?

教学要点

1、在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2、请两位同学上台板演，教师讲评；

3、让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。   

问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系?

 函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

 函数y＝－(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0)。

问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

四、课堂小结：

1、在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2、你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?

3、课堂小结：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业

1、教材P8/练习。

2、选用课时作业优化设计。

六、板书设计：

二次函数

观察二次函数y＝2(x－1)2的图象：

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；

当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；

第五课时、二次函数

【教学内容】抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律。

【教学目标】

知识与能力：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象。能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律。

过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2＋k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法。

情感与态度：培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识。

语言积累：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质。

【教学重点】

作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质。

【教学难点】

抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：

导语一：回忆二次函数y=ax2y=a(x-h)2±k.若将y=ax2向左（或向右）平移h个单位，会得到什么抛物线呢？

导语二：小明作出了函数y=3x2与函数y=3x2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？

导语三：回忆

(1)抛物线y=2x2，y=2x2+3，y=2x2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？

(2)抛物线y=ax2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？从而引人新课。

二、合作交流，解读探究：

1、函数y=a(x-h)2的图象与性质

探究：在同一坐标系中，画出函数y=- (x+1)2和函数y=- (x-1)2的图象。

教师可指导以下两方面：

(1)列表取值可按课本中提供的数据完成。

(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同。

学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品。 

想一想：两个函数图象与y=-x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？

解：如图26-1-7，函数y=- (x+1)2图象和y=- (x-1)2的图象形状大小，开口方向完全一样，只是位置不同相同。

抛物线y=- (x+1)2的对称轴是直线x=-1，顶点为(-1,0), 抛物线y=- (x-1)2的对称轴是直线x=1，顶点为(1,0)。

观察图象易知（或用多媒体展示抛物线的移动）抛物线y=-x2向左平移1个单位，能与抛物线y=- (x+1)2重合；抛物线y=-x2向右平移1个单位，能与抛物线y=- (x-1)2重合。

注意：观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）移动的情况.

归纳：

（1）二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同。

（2）抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为（h，0），对称轴是x=h。

（3）抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2。

2、二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

做一做：画出函数y=- (x+1)2-1图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=- (x+1)2-1？

教师引导学生在前一题的基础上，补上函数y=- (x+1)2-1的图象（或制成幻灯片，让学生观察、比较）如图26-1-8所示

解：图象如图26-1-8

抛物线y=- (x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是(-1,-1)。

把抛物线y=-x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线y=- (x+1)2-1

注意：可以改变两次平移顺序，即先向左向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=- (x+1)2-1

归纳：

抛物线y=a(x-h)2+k有如下特征：

注意：

①口诀：上加下减，左加右减。

②根据顶点坐标来确定移动的方向与数据。

三、应用迁移，巩固提高：

类型之一  函数y=a(x-h)2+k的图象特征的运用

例1、填写下表：

解： y=-5x2y=-5(x-0)2+0

y=-x2+5y=- (x-0)2+5

y=-3(x+4)2y=-3(x+4)2+0.

y=4(x+2)2-7y=4(x+2)2-7

它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表。

点评：

①解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，便于解答。

类型之二  平移规律的应用

例2  将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（  ）

A. y=-3(x-2)2-5    B. y=-3(x+2)2-5    C. y=-3(x+2)2+5    D. y=-3(x-2)2+5

解析：根据平移规律知D正确。

点评：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动。

类型之三  二次函数y=a (x-h)2+k的综合应用

例3、若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第    象限

A.一      B.二        C.三         D.四

解析：由直线y=3x＋m经过一、三、四象限知，m＜0。

又顶点坐标为（m，1)。

∴抛物线的顶点必在第二象限。

点评：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别。

四、总结反思  拓展升华

总结：本节所学的知识是

①二次函数y =a (x-h )2 +k的图象画法及其性质的总结。

②平移规律。

所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法。

反思：抛物线 y=a(x-h)2+k中，顶点(h, k)在画图象，平移抛物线的过程中，分别起什么作用？

拓展：你能确定二次函数y=3x2+6x+5的开口方向，对称轴和顶点坐标吗?你是怎样想的，与同伴交流。

解析：先将其化为顶点式，再根据顶点式回答相关问题。

解：y=3x2+6x+5可化为y=3(x+1)2+2

∴开口向上，对称轴为x=-l ，顶点（-1,2)

课堂小结：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业：

1、教材P10页/练习。

2、课后作业:《同步训练》。

3、补充作业：

已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；

(4)试讨论函数y＝6(x＋3)2－3的性质；

六、板书设计：

二次函数

抛物线有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；

（2）对称轴是直线x=h；

【教学内容】函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质。

【教学目标】

知识与能力：使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

过程与方法：让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

情感与态度：培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识。

语言积累：函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质。

【教学重点】

用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

【教学难点】

理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴x＝－，顶点坐标分别是 (－，)是教学的难点。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课：    

1、你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，

对称轴为直线x＝2，

顶点坐标是(2，1)。

2、函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的。

3、函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，

当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；

当x＝2时，函数有最大值，最大值y＝1

4、不画出图象，你能直接说出函数y＝x2－6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

因为y＝x2－6x+21＝(x－6)2+3，所以这个函数的图象开口向上，对称轴为x＝6，顶点坐标为(6，3)

 5、你能画出函数y＝x2－6x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、合作交流，解读探究：

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝x2－6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝x2－6x+21的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2－6x+21的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当x＜6时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞6时，函数值y随x的增大而减小；

当x＝6时，函数取得最大值，最大值y＝3。

三、应用迁移，巩固提高：

1、请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

2、对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?    

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c 

＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c 

＝a[x2＋x＋()2]＋c－

＝a(x＋)2＋

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)

3、例题、写出抛物线y＝x2－2x－1的开口方向、对称轴和顶点坐标?

解:∵a=  b=-2  c=-1

   ∴x＝－=－=4    y＝==－3

   ∴抛物线y＝x2－2x－1的开口向下、对称轴是x＝4、顶点坐标是(4,-3)

四、总结反思，拓展升华：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业：

1、教材P12/练习；教材P14/ 复习巩固5、6。

2、课后作业:《同步训练》。

六、板书设计：

二次函数

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c 

＝a[x2＋x＋()2]＋c－＝a(x＋)2＋

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

【教学内容】建立二次函数的数学模型来解决实际问题。

【教学目标】

知识与能力：能根据实际问题列出函数关系式。使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

过程与方法：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感与态度：提高学生用数学的意识。

语言积累：二次函数，实际问题。

【教学重点】

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围。

【教学难点】

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】

一、复习旧知

1、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

 (1)y＝6x2＋12x；    (2)y＝－4x2＋8x－10

y＝6(x＋1)2－6，抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1,－6)；

y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1,－6))。

方法：课件出示题目；

      指名回答，集体订正。

2、以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 

函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，

函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6。

二、范例：

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决实际问题。

例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，集体订正。

解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。

围成的花圃面积y与x的函数关系式是

y＝x(20－2x)

即y＝－2x2＋20x

配方得y＝－2(x－5)2＋50

所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。

因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。

所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。

例2、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

教学要点：

(1)学生阅读问题2分析，    

(2)请同学们完成本题的解答；  

(3)教师巡视、指导；  

(4)教师给出解答过程：

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，集体订正。

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

    商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx)

    即y＝－1OOx2＋1OOx＋200    

    配方得y＝－100(x－)2＋225

    因为x＝时，满足0≤x≤2。

    所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。

    所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。

例3、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?

先思考解决以下问题：

 (1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?    (m)

 (2)根据实际情况，x有没有?若有跟制，请指出取值范围，并说明理由。  

让学生讨论、交流，达成共识：

根据实际情况，应有x＞0，且＞0，

即解不等式组，

解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，

所以x的取值范围应该是0＜x＜2。

 (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?

y＝x·，即y＝－x2＋3x

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，集体订正。

让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；  

(2)研究自变量的取值范围；  

(3)研究所得的函数；  

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：  

(5)解决提出的实际问题。

三、课堂练习：

1、求下列函数的最大值或最小值。

 (1)y＝－x2－4x＋2     (2)y＝x2－5x＋   

 (3)y＝5x2＋10         (4)y＝－2x2＋8x    

方法：课件出示题目；

      学生完成。教师巡视。

      指名回答，集体订正。

2、已知一个矩形的周长是24cm。

(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。

(2)当a长多少时，S最大?

方法：课件出示题目；

      学生完成。教师巡视。

      指名回答，集体订正。

3、如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?

方法：课件出示题目；

      学生完成。教师巡视。

      指名回答，集体订正。

四、课堂小结：　

1、通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?

2、谈谈你的收获和体会。

学生自由发言，教师小结。

五、布置作业：

1、补充作业

2、课后作业:《同步训练》。

六、板书设计：

二次函数

【教学内容】用待定系数法求二次函数解析式

【教学目标】

知识与能力：使学生学会用待定系数法求二次函数解析式。

过程与方法：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感与态度：提高学生运用数学知识解决生活中的数学问题的应用意识。

语言积累：二次函数，实际问题。

【教学重点】

用待定系数法求二次函数解析式。

【教学难点】

用待定系数法求二次函数解析式。

【教学用具】

课件、学具。

【教学过程】：

一、新授：

例1、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，教师小结。

例2、已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

 解法一：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，

因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，

又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是x＝2，可以得

解这个方程组，得：  

所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，

由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，

可以得到    

解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，教师小结。

例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

方法：课件出示题目；

      学生分组讨论，教师巡视；

      指名回答，教师小结。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，

依题意，得y＝a(x－2)2－4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，

于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。

所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，

即y＝2x2－8x＋4。

 解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?

依题意，得

解这个方程组，得： 

所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。

二、课堂练习：

 1、已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，

所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，

可以得到：    

解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，

依题意，得y＝a(x＋3)2－1

因为二次函数图象过点(0，3)，

所以有    3＝a(0＋3)2－1    

解得a＝

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3。

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

2、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

解：依题意，得  

解得：p＝－10,q＝23

所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。

三、课堂小结：

1、求二次函数的关系式，常见的有几种类型?

两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c

          (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]

2、如何确定二次函数的关系式?

让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

3、课堂小结：

教师：通过今天的学习，同学们有什么收获？

学生自由发言，教师小结。

四、布置作业：

1、教材P14/综合运用7、8；教材P15 / 综合运用9、10、12。

2、课后作业:《同步训练》。

五、板书设计：

用待定系数法求二次函数