河南郑州2021高三第一次质量预测(1月)理科数学试题

理科数学试题卷  

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（  ）

A．         B．       C．       D．

2. 设复数满足，则（  ）

A．         B．       C．       D．

3.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为到轴的距离为则（  ）

A．         B．       C．       D．

4. 设为单位向量，且，则（  ）

A．         B．       C．       D．

5.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（  ）

注:后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生. 

互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多

互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多

A．         B．       C．①③④       D．

6. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（  ）

A．         B．       C．       D．

7.函数的图像大致为（  ）

A．             B．       

C．           D．

8.式子的展开式中，的系数为（  ）

A．        B．       C．       D．

9. 若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（  ）

A．             B．       

C．           D．

10. 已知，且，则下列选项错误的是（  ）

A．             B．       

C．           D．

11.对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图像的一对“隐对称点”.已知函数，函数与的图像恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（  ）

A．                 B．       

C．           D．

12.设点分别为双曲线的左右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，且则双曲线的离心率为（  ）

A．         B．       C．       D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为                       ．

14.已知，若存在极小值，则的取值范围是                       ．

15.数列中，，若，则                       ．

16.已知是球的内接三被锥，则球的表面积为                       ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. 在中，角的对边分别为，已知.

求边的长﹔

在边上取一点，使得，求的值. 

18. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.

证明:平面平面；

若，求二面角的余弦值.

19. 已知椭圆的离心率为，且过点.

求的方程；

点在上，且，证明:直线过定点.

20. 已知函数.

若，讨论的单调性﹔

若对任意恒有不等式成立，求实数的值.

21. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.

求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔

求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；

现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务

的事件相互.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.

(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为(异于点)，与直线的交点为求线段的长.

23．已知，函数

若，求不等式的解集﹔

求证：.

2020-2021学年高三数学一测理科评分参考

一、选择题

13.                  14.           

15.                   16.

三、解答题

17. 解:在中，因为

由余弦定理，

得

所以或（舍）

所以.

在中，由正弦定理，

得.

所以

在中，因为，

所以为钝角.

而

所以为锐角

故

因为，

所以

，

18. 证明:如图所示，取的中点连接.

是等边三角形，

与中，

是直角三角形，

是斜边，

又

平面.

又平面

平面平面.

由题知，点是的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨取

则，.

设平面的法向量为，

则

即

取．

同理可得:平面的法向量为.

二面角的余弦值为

19.解:由题意可知

解得，

所以椭圆方程为.

证明:设点，

因为

所以

所以

当存在的情况下，设

联立

得，

由

得，

由根与系数的关系得，

所以

代入式化简可得，

即，

所以或

所以直线方程为或

所以直线过定点或，

又因为和点重合，

故舍去

所以直线过定点.

20.解: ，

则

当时，令，得；

令，得；

综上，当时，单调递减；

当时，单调递增.

当时，单调递增，的值域为，不符合题意；

当时，则，也不符合题意.

当时，由可知，，

故只需.

令，上式即转化为，

设，

则，

因此在上单调递增，在上单调递减，

从而，

所以.

因此，，

从而有.

故满足条件的实数为. 

21.名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为，

则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为

第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是人.

设表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，

则有:

设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有:

因为，

故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人.

按照先后的顺序所需人数期望最小.

设表示先后完成任务所需人员数目，则

①设表示先后完成任务所需人员数目，则

故按照先后的顺序所需人数期望最小. 

22.解由可得，

所以曲线的普通方程为，

由

所以，

所以直线的直角坐标方程为.

曲线的方程可化为，

所以曲线的极坐标方程为， 

由题意设

将代入

将代入，

可得，

所以

23.依题意，得，

则或，

解得或

故不等式的解集为

依题意，

因为

，

故

故

当且仅当时，等号成立.