1. 若函数是偶函数，则的递减区间是
【答案】
【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
| A．是偶函数 | B．是奇函数 |
| C．是偶函数 | D．是奇函数 |
【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
则|g（x）|也为偶函数，
则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；
f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；
|f（x）|也为偶函数，
则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定
故选A
【考点】函数奇偶性的判断
3. 设函数为奇函数，,，则=（ ）
| A．0 | B． | C． | D．- |
【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．
【考点】函数的奇偶性；抽象函数．
4. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（ ）．
| A．2 | B．4 | C．6 | D．8 |
【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；
当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当
时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.
【考点】函数的性质、方程的解.
5. 偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图
因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.
【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.
6. 若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .
【答案】
【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.
【考点】奇函数定义及特殊值法.
7. 已知函数是偶函数
（1）求k的值；
（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；
（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2） ；(3)
【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.
（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.
(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.
试题解析：（1）因为为偶函数，所以，
即对于任意恒成立.
于是恒成立,
而不恒为零，所以. 4分
（2）由题意知方程即方程无解.
令，则函数的图象与直线无交点.
因为，由，则，
所以的取值范围是 . 8分
（3）由题意知方程有且只有一个实数根．
令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.
若，则，不合题意, 舍去；
若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由或；但，不合题意，舍去；而；
若方程(*)的两根异号
综上所述，实数的取值范围是． 12分
【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.
8. 设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .
【答案】
【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．
【考点】函数的奇偶性．
9. 定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.
【答案】
【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.
【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.
10. 已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( )
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.
【考点】奇函数的定义.
11. 已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( )
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．
【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．
12. 已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；
（Ⅱ）解关于的不等式：；
（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证: 。
【答案】（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令，再令可求得出函数为奇函数,（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为奇函数，则利用单调性及与-1的关系可解得； （Ⅲ）先对进行化简，再利用两方程有唯一解求证.
试题解析：（Ⅰ）令,
令,,
函数为R上的奇函数. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又函数是单调递增函数,
故 （8分）
（Ⅲ）
,又有且仅有一个元素,即方程组有唯一解,
即仅有一个实根, ,即 （13分）
【考点】抽象函数求奇偶性,不等关系,交集定义,函数与方程.
13. 下列函数中是偶函数的是 ( )
| A． | B． |
| C． | D． |
【解析】在选项A中，函数是奇函数，故A错；在选项B中函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错；C选项与B选项范同样的错法；故正确答案是D.
【考点】1.函数的奇偶性；2.二次函数、对数函数、幂函数.
14. 下列4个函数，，，中，奇函数的个数是 ( )
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
【解析】判定一个函数是不是奇函数，首先看定义域关于原点对称，其次代数式各项指数为奇数，定义域为，且各项指数为奇数，所以它是奇函数；指数函数没有奇偶；定义域为R，且各项指数为奇数，所以它是奇函数；定义域为R，但各项指数不是奇数，所以它不是奇函数；共有2个是奇函数故选B.
【考点】函数奇偶性的判定.
15. 设是定义在Ｒ上的偶函数，当（ ）
| A．３ | B． | C． | D．－３ |
【解析】因为函数是偶函数，所以，所以答案选.
【考点】函数的奇偶性.
16. 奇函数上为增函数,且,则不等式的解集为( ).
A
B.
C
D
【答案】C
【解析】因为，奇函数上为增函数,
所以当
时；
故选C。
【考点】函数的奇偶性、单调性
点评：简单题，此类问题往往借助于函数图像分析。奇函数的图象关于原点成中心对称。
17. 是定义在上的奇函数,当时,,则当时,
【答案】
【解析】因为，是定义在上的奇函数,所以，，
又当时,,
所以，时，，所以，=。
答案为。
【考点】函数的奇偶性
点评：简单题，利用函数的奇偶性，确定函数的解析式，主要是注意自变量范围的转化。
18. 定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为
| A． | B． | C． | D． |
【解析】根据题意，由于定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，且可知的最小正周期是，那么可知===-=-，故可知答案为C
【考点】函数的奇偶性以及周期性
点评：主要是考查了函数的性质的运用，属于基础题。
19. 已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．
【答案】(Ⅰ)先利用导数求出单调区间，再分情况证明；
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．
又f (0)＝1，f (a)＝－a3－a2＋1＝(1－a)(a＋2) 2－1．
当f (a)≥－1时，取p＝a．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1． 7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值为f (a)．
当0＜a≤1时，f (a)≥－1，则g(a)是方程f (p)＝1满足p＞a的实根，
即2p2+3(1－a)p－6a＝0满足p＞a的实根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上单调递增，故g(a)max＝g(1)＝．
当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为． 15分
【考点】本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。
点评：研究函数的性质往往离不开导数，导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用；另外，函数如果含参数，一般离不开分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏.
20. 若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
| A．f(－) | B．f(－1) |
| C．f(2) | D．f(2) |
【解析】由函数的奇偶性、单调性把f（2）、f（-1.5）、f（-1）转化到区间（-∞，-1]上进行比较即可解：因为f（x）在（-∞，-1]上是增函数，又-2＜-1.5＜-1≤-1，所以f（-2）＜f（-1.5）＜f（-1），又f（x）为偶函数，f（-2）=f（2），所以f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）．故选D
【考点】函数的奇偶性
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是灵活运用函数性质把f（2）、f（-1.5）、f（-1）转化到区间（-∞，-1]上解决．
21. 下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
| A． | B． |
| C． | D． |
【解析】A项，函数不是奇函数，B项，函数是奇函数，当时所以当时，函数没有零点，C项满足是奇函数，有存在零点，D项满足是偶函数
【考点】函数奇偶性零点
点评：函数是奇函数则满足，是偶函数则满足，函数零点是使函数值为零的自变量的值
22. 设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是
【答案】
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，所以不等式的解是。
【考点】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，
点评：简单题，奇函数的图象关于原点对称。
23. 定义在R上的偶函数在上是增函数．若，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】因为定义在R上的偶函数在上是增函数．且，所以,|a|2，解得。
【考点】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解得绝对值不等式的解法。
点评：简单题，因为函数是偶函数，所以，将转化成是关键。
24. 已知为R上的奇函数，当时，，那么的值为 .
【答案】-9
【解析】根据题意，由于函数为R上的奇函数，则可知,则可知=,故答案为-9
【考点】函数的奇偶性的运用
点评：解决的关键是对于函数奇偶性的对称变量函数的值的运用，属于基础题。
25. 设函数是上的减函数，则有（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为函数是上的减函数，所以。
【考点】一次函数的单调性。
点评：我们要熟练掌握基本初等函数的单调性。此题主要考查一次函数的单调性，属于基础题型。
26. （本题满分12分）
已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解不等式
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 转化为： …… 12分
【考点】函数性质及解不等式
点评：函数是奇函数且在处有定义，则有，第一问利用这一特殊值求解很方便；第二问结合了函数的单调性将抽象不等式化为一次不等式
27. 下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】对于C:由于函数，定义域关于原点对称，以-x代替x，函数式不变，因此是偶函数，不成立。
对于A，由于反比例函数是奇函数，但是在上是减函数，因此成立
对于D，定义域为R，定义域内为增函数，且是奇函数，满足f（-x）=-f(x),不成立。
对于B, 定义域关于原点对称，不满足f(x)=-f(-x)，因此错误，故选A.
【考点】函数的奇偶性和单调性
点评：解决的关键是熟练的掌握常见基本初等函数的 性质，属于基础题。
28. 函数，
| A．是奇函数 | B．是偶函数 |
| C．既不是奇函数也不是偶函数 | D．既是奇函数也是偶函数 |
【解析】∵，由为奇函数得函数为奇函数，故选A
【考点】本题考查了三角函数的奇偶性
点评：利用诱导公式化简函数，然后结合三角函数的性质处理此类问题比较简单
29. 下列函数为奇函数的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】从定义域看，C不符合要求，从f(－x)与f(x)的关系看，B是偶函数，D是非奇非偶函数，故选A。
【考点】本题主要考查函数的奇偶性。
点评：简单题，研究函数的奇偶性，首先应关注定义域，是否关于原点对称，其次，再研究f(－x)与f(x)的关系。
30. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.
| A． | B． | C． | D． |
【解析】由奇函数的定义，对于定义域是R的任意奇函数有，选B。
【考点】本题主要考查函数的奇偶性。
点评：简单题，函数奇偶性研究，首先关注定义域关于原点对称，其次研究的关系。若则为奇函数，若则为偶函数。
31. 已知函数．给下列命题：
①必是偶函数；
②当时，的图像必关于直线x＝1对称；
③若，则在区间[a，＋∞上是增函数；④有最大值．
其中正确的序号是_________．
【答案】③
【解析】①只有当时，函数才是偶函数；②的图像要关于直线x＝1对称需满足恒成立，仅有一组点满足是不能成立的；③若则，由图像可知在区间[a，＋∞上是增函数；④没有最大值
【考点】函数的单调性对称性奇偶性等性质
点评：原函数中带有绝对值，做图像需将x轴下方的部分对称翻折到x轴上方
32. （本小题满分12分）
已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以
即： 解得： …………2分
所以
因为
所以是奇函数，故 …………4分
(2)由（1）得，易知是减函数.
原不等式可以化为：
…………8分
因为是定义在上的减函数.
所以，即对恒成立.
因为 …………10分
所以 …………12分
【考点】本试题考查了函数的奇偶性和单调性。
点评：解决该试题的关键是利用函数的单调性来分析求解抽象不等式，来得到不等式的解集，同时利用分离参数是思想来得到参数的取值范围，属于中档题。
33. （本小题满分12分）
设为奇函数，a为常数。
（1）求的值；并证明在区间上为增函数；
（2）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】.解：（1）由得，
令，得，
是奇函数，定义域关于原点对称，。
且当时，定义域为，
，函数为奇函数
故
设任意，，
则
而，
因为，，，
则，
故，故，即，
即，上为增函数。
（２）由题意知时恒成立，
令
由（１）知上为增函数，又在上也是增函数，
故上为增函数，最小值为，
故由题意可知，即实数m的取值范围是
【考点】本试题考查了函数的奇偶性和单调性运用。
点评：解决该试题的关键是奇偶性的判定，要注意看定义域和解析式两个方面进行，而对于单调性的证明，根据定义法即可。对于不等式的恒成立问题，一般用分离参数的思想求解范围，属于中档题。
34. 已知是偶函数，且，那么的值为_________
【答案】6
【解析】因为是偶函数，且，所以
【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值.
点评：函数的奇偶性是函数的重要性质，要灵活运用.
35. 设，其中为常数
（1）为奇函数，试确定的值
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）由得， 6分
（2）
因为，所以 8分
因为恒成立
即恒成立
所以即 12分
【考点】本题主要考查函数的奇偶性，指数函数性质。
点评：中档题，奇函数在x=0有定义，则f(0)=0，可直接应用于解选择题、填空题，对恒成立问题，往往要转化成求函数的最值问题。
36. 设函数为偶函数，则（ ）
| A．1 | B． | C．0 | D．2 |
【解析】因为函数为偶函数，所以，整理得，=0，所以，故选B。
【考点】本题主要考查函数的奇偶性。
点评：简单题，利用函数奇偶性定义加以研究。
37. （本题满分12分）
已知函数（其中常数）
（1）判断函数的单调性，并加以证明；
（2）如果是奇函数，求实数的值。
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）先求解函数定义域，然后结合单调性的定义，作差变形定号，下结论得到。
（2）因为函数是奇函数则有f(-x)+f(x)=0，进而得到关于a的表达式得到求解。
解（1）
，即（3分）
（2），
，即（7分）
（3）不等式对于恒成立，
,（9分）
而函数在区间上是增函数
所以，在区间上的最小值是（10分）
即，实数的取值范围是．（12分）
【考点】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用。
点评：解决该试题的关键是能利用定义法来求解和证明函数单调性问题。作差变形定号来证明。奇偶性的判定要分为两步，一看定义域，二看解析式f(-x)与f(x)的关系。
38. 函数是 （ ）
| A．奇函数 | B．偶函数 | C．非奇非偶函数 | D．是奇函数又是偶函数 |
【解析】由，得，又当时，，所以为偶函数。
【考点】本题考查函数的奇偶性。
点评：判断函数的奇偶性有两步：一求函数的定义域；二判断与的关系。若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
39. 函数为偶函数，则等于（ ）
| A．-2 | B．-1 | C．1 | D．2 |
【解析】函数=为偶函数，则。
40. (12分) 若函数对任意恒有.
（1）求证：是奇函数；
（2）若求
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)根据x,y取值的任意性可知x="y=0" 得
∴,再取y=-x,所以f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x),
因而f(-x)=-f(x)+f(0)=-f(x).问题得证.
(2)若 由(1)知是奇函数,
根据,可求出
再次利用,可得
(1)因为函数对任意恒有.
取 x="y=0" 得
∴
再取y = -x，则有
即
所以，是奇函数；
(2) 若 由(1)知是奇函数，
∴
∴
∴
41. 是上的奇函数，当时，；则当时，等于
| A． | B． | C． | D． |
【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x+1,因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x+1,所以当x<0时，f(x)=-x-1.
42. 在2012个正整数1，2，3，…，2012的每一个数前面，任意添加上符号“+”或“-”，则它们的代数和一定是:
| A．奇数 | B．偶数 | C．负整数 | D．非负整数 |
【解析】由于在整数a、b前任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，因此，1，2，3，…2011,2012的每一个数前面任意添加“+”或“-”号，其代数和的奇偶性与-1+2-3+4-5+6-7+8-2011+2012=1006的奇偶性相同，是偶数，故选B．
43. （本小题满分12分）
已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．
【答案】 (1) f(x)＝.
(2)其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的综合运用
（1）先根据已知条件，将函数设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，得到解析式。
（2）画出函数的 图像。，结合图像的饿到函数的单调区间。
(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x2＋2x－2，
又f(0)＝0，∴f(x)＝.
(2)先画出y＝f(x)(x＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x＜0)的图象，其图象如图所示：由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．
44. 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于（ ）
| A．－26 | B．－18 | C．－10 | D．10 |
【解析】因为f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么可知f(x)+f(-x)=-16,则f(2)等于-26，选A
45. （本题满分12分）已知偶函数在上是减函数，求不等式的解集。
【答案】
【解析】本试题主要是考查了函数 奇偶性以及函数与不等式的关系的综合运用。
根据函数的奇偶性和单调性，根据f（2x+5）＜f（x2+2）建立不等式组求得x的范围．
解：由偶函数特性知原不等式等价于不等式，即，
所以，原不等式的解集为
46. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是( )
| A． | B． | C．1 | D．0 |
【解析】因为函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是0，选D.
47. （本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性并加以证明．
【答案】解（Ⅰ）是偶函数．见解析；（Ⅱ）是单调递增函数．见解析。
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数的单调性的运用。
（1）因为定义域为实数集，且，那么可知函数为偶函数。
（2）利用定义法，作差变形定号， 下结论可知函数在给定区间上是增函数。
解（Ⅰ）是偶函数． …………………………………………………………………2分
定义域是R，
∵
∴ 函数是偶函数． ……………………………………………………………6分
（直接证明得正确结论给6分）
（Ⅱ）是单调递增函数． ……………………………………………………………8分
当时，
设，则，且，即
∵
………………………………………12分
∴
所以函数在上是单调递增函数．………………………13分
48. 函数f（x）=的最大值是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为函数f（x）=，利用二次函数的性质可知，分母的最小值为，那么所求的最大值是，选C
49. 若函数满足，并且当时，，则当时，= ．
【答案】
【解析】因为解：令x＜0，得-x＞0，∵x＞0时，f（x）=2x2-x+1
∴f（-x）=2x2+x+1，又函数f（x）满足f（-x）=-f（x），∴-f（x）=2x2+x+1
∴f（x）=2x2-x-1，故答案为-2x2-x-1
50. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，则当时，-x<0,-f(-x)="-(" )=,选D
51. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，，则= ；
【答案】
【解析】.
52. 设函数，，则是（ ）
| A．最小正周期为的奇函数 | B．最小正周期为的偶函数 |
| C．最小正周期为的奇函数 | D．最小正周期为的偶函数 |
【解析】，偶函数
53. （本题满分12分）已知函数．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若方程有解，求m的取值范围；
【答案】（1）f(x)是偶函数；（2）.
解：(Ⅰ)f(x)是偶函数
∵；
(Ⅱ)∵，
又，（5分）∴；
故要使方程有解，m的取值范围为．
【解析】第一问利用函数的奇偶性的定义可以判定定义域和f(x)与f(-x)的关系从而得到结论。
第二问中，利用方程有解，说明了参数m落在函数y=f(x)的值域里面即可。
54. 定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是，且当x时，f（x）=sinx，则f（）=________。
【答案】.
【解析】
55. 设是定义在R上的奇函数，且x＞0时，，则当时，
__________．
【答案】
【解析】设x＜0，则－x＞0，即f(－x)＝(－x)2＋1，因为是奇函数，
∴,即－f(x)＝x2＋1，∴f(x)＝－x2－1．
56. 函数满足，且，则 。
【答案】
【解析】∵且∴函数为奇函数，∴-
57. 已知是奇函数，且方程有且仅有3个实根，则的值为
| A．0 | B．1 | C．1 | D．无法确定 |
【解析】方程有且仅有3个实根，则其中一个根为0，其余的两根关于原点对称，则说明横坐标和为0，故答案为A
58. 已知函数，若为奇函数，则_________。
【答案】0.5
【解析】因为的定义域为R，所以，则，可得
当时，，则
此时为奇函数，符合条件，所以
59. 以 为最小正周期的函数是( )
| A． | B． | C． | D． |
【解析】此题考查三角函数周期的求法；即函数周期为，函数周期为；所以的周期是，周期是，周期是，周期是，所以选C
60. 设函数f(x)＝loga(ax＋)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)的单调性并证明．
【答案】(1)由已知f(x)的定义域为R……1分，所以f(－x)＝loga(a－x＋)＝f(x)，故f(x)为偶函数………4分．
(2)设h(x)＝ax＋，当a＞1时，令x1＞x2＞0，故h(x1)＞h(x2)，logah(x1)＞logah(x2)，即f(x1)＞f(x2)，当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数…………10分．
同理可证当0＜a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
【解析】略
61. 已知奇函数在区间上的解析式为，则函数在区间上的解析式为______________________________________.
【答案】
【解析】略
62. 已知定义在实数集上的函数满足, 且不恒等于零，则是（ ）
| A．奇函数 | B．偶函数 | C．非奇非偶函数 | D．不能确定 |
【解析】令x=y=0，则，
令，则，
即，所以，
所以是奇函数。
63. 已知奇函数，当时，则= ( )
| A．1 | B．2 | C．-1 | D．-2 |
【解析】因为当时，所以又因为是奇函数，所以
故选D
. 已知函数(1), (2),(3)，(4).其中是偶函数的个数为 （ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
【解析】（1）定义域为R,.函数是偶函数；（2）函数定义域为，不关于定义域对称。是非奇非偶函数；（3）定义域为R. 是非奇非偶函数；(4)当时，，当时，，函数是偶函数；故选B
65. 设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（ ）
| A．f（－x1）＞f（－x2） | B．f（－x1）＝f（－x2） |
| C．f（－x1）＜f（－x2） | D．f（－x1）与f（－x2）大小不确定 |
【解析】因为x1＜0且x1＋x2＞0，所以x1＜0且x2＞-x1>0,又在（0，＋∞）上是减函数，所以f（－x1）＞f（x2）=f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故选A。
66. 若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为
| A． | B． |
| C． | D． |
【解析】若函数为奇函数，且在上是增函数，又则函数在R上是增函数；所以不等式可化为则
解得故选A
67. 若函数是定义在上的奇函数，在上为减函数，且，则使得的的取值范围是 ( )
【答案】B
【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性.
函数是定义在上的奇函数, 在上为减函数, 且;则函数在上是减函数，且则不等式等价于
根据函数的单调性解得故选B
68. 设函数为奇函数，则实数___________
【答案】-1
【解析】略
69. 若函数是偶函数，则的递减区间是 .
【答案】
【解析】
70. 下列函数中是奇函数的是 （ ）yjw
| A．y =" sinx" + 1 | B．y =" cos(x" + ) |
| C．y =" sin(x" - ) | D．y =" cosx" – 1 |
【解析】【考点】正弦函数的奇偶性．
专题：计算题．
分析：利用基本函数的奇偶性判断A，D的正误，通过诱导公式化简B，C，然后判断即可．
解答：解：正弦函数、余弦函数是奇函数、偶函数，图象上下平移后，不具有奇偶性，A，D不正确；
对于B：y=cos（x+）=-sinx是奇函数，正确；对于C：y=sin（x-）=-cosx是偶函数，不满足题意．
故选B．
点评：基本函数的基本性质是解题的前提，诱导公式的应用也本题的解题关键，考查计算能力．
71. 已知是奇函数,当时,当时= （ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】本题考查奇函数的应用。
解答：设，则，所以
又
所以=，故选B。
72. 函数=为（ ）
| A．是奇函数但不是偶函数 | B．是偶函数但不是奇函数 |
| C．既是奇函数又是偶函数 | D．既不是奇函数又不是偶函数 |
【解析】略
73. （本题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ) 讨论的奇偶性；
（Ⅱ）判断在上的单调性并用定义证明.
【答案】(Ⅰ) 当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性
（Ⅱ）证明略
【解析】(Ⅰ)函数的定义域为关于原点对称. ……………1分
方法1、，…………………………2分
若，则，无解， ∴不是偶函数; …………………4分
若，则，显然时，为奇函数……………………6分
综上，当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性. ………7分
方法2、函数的定义域为关于原点对称. ……………1分
当时，，，∴，
∴为奇函数; ………………………………………………4分
当时，，，显然
∴不具备奇偶性. …………………………………………7分
（Ⅱ）函数在上单调递增; ………………………8分
证明:任取且，则
……………11分
∵且， ∴，，
从而， 故，…………………………13分
∴在上单调递增. ………………………………14分
74. 已知定义在上的奇函数当时
则当时， ▲
【答案】
【解析】略
75. 是偶函数，且不恒等于零，则（ ）
| A．是奇函数 | B．可能是奇函数，也可能是偶函数 |
| C．是偶函数 | D．不是奇函数，也不是偶函数 |
【解析】略
76. 下列函数中为偶函数的是 （ ）
| A． | B． |
| C． | D． |
【解析】略
77. 如果函数是偶函数，则的值是 .
【解析】略
78. 已知函数是定义在上的奇函数，当0时，；当时，= ．
【答案】=
【解析】略
79. （本小题满分10分）
设f(x)为定义在R上的偶函数，当时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点在P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分
(1)求函数f（x）在上的解析式；
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图像；
(3)写出函数f(x)值域。
【答案】（1）当时解析式为
(2) 图像如右图所示。
（3）值域为：
【解析】略
80. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式
的解集为 （ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】略
81. 定义在R上的奇函数满足：①在内单调递增；②；则不等式的解集为： .
【答案】(-∞，-1）（0,1）（1，+∞）
【解析】略
82. 已知时，，且为奇函数，则时，（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】略
83. （04年全国卷一.文2）已知函数（ ）
| A． | B．－ | C．2 | D．－2 |
【解析】略
84. 为奇函数且时，，当时，解析式为
【答案】
【解析】略
85. 函数是（ ）
| A．奇函数 | B．偶函数 | C．既奇又偶函数 | D．非奇非偶函数 |
【解析】的定义域为，所以函数为奇函数．
【考点】函数的奇偶性．
86. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），;（2）
【解析】（1）根据奇函数的性质，可以求出的值；再根据奇函数的定义，带入特值，得到，求得的值.（2）先判断函数在定义域上是减函数，再通过已知给的式子建立不等式，得到，由于对一切恒成立，再根据判别式小于得到结论.
试题题析：（1）因为是奇函数，所以，即，又因为知 4分
由（1）知，易知在上为减函数.又因为是奇函数，从而不等式：，等价于，因是减函数，由上式推得：即对一切有：，又
，即的取值范围是 13分
【考点】函数的奇偶性和单调性.
87. 已知函数 =是定义在[]上的偶函数，那么的值是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】由题意，得，解得，即.
【考点】二次函数的奇偶性.
88. 已知在R上是奇函数，，当∈（0，2）时，＝，则＝（ ）．
| A．－2 | B．2 | C．－98 | D．98 |
【解析】由在R上是奇函数，且∈（0，2）时，＝.
【考点】函数奇偶性和周期性
. 是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】是定义在上的偶函数，且.
【考点】函数奇偶性和单调性
90. 对于函数f（x）=4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（ ）
| A．m≤ | B．m≥ | C．m≤1 | D．m≥1 |
【解析】即令则，所以，所以函数在为增函数，所以，选B;
【考点】函数单调性、最值
91. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
| A． | B． |
| C． | D． |
【解析】由已知可知当时，与的符号相反，既时；时，所以函数在上为减函数，又函数为偶函数，所以，而，所以即，答案选A．
【考点】函数的性质与应用
92. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数 的个数为（ ）
| A．2 | B．4 | C．6 | D．8 |
【解析】因为为偶函数，，当
所以，由此可知. 数形结合由我们可知，、或.数形结合我们就可以知道a的实数个数为6.
【考点】偶函数、复合函数，以及数形结合
93. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】-3
【解析】由已知，由题意函数为奇函数，有，所以
【考点】奇函数.
94. 函数是偶函数，则的大小关系是
| A． |
| B． |
| C． |
| D． |
【解析】根据函数是偶函数，得，从而函数的解析式为，结合函数图像的对称性和相应的单调性，可以得出自变量离原点越近，函数值越大，从而选B.
【考点】函数的奇偶性，单调性，图像的对称性.
95. 下列函数是偶函数的是：（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】y=x是奇函数，故A选项错误.对于B选项的定义域，不关于原点对称，故非奇非偶. 定义域是R，关于y轴对称，故是偶函数.D选项，，定义域不关于原点对称, 非奇非偶.
【考点】对函数奇偶性的概念.
96. 设f（x）＝lg（10x＋1）＋ax是偶函数，g（x）＝是奇函数，那么a＋b的值为（ ）
| A．1 | B．－1 | C．－ | D． |
【解析】∵ 是偶函数
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
∴
∴
∴（2a+1）x=0,∴2a+1=0,解得
∵ 是奇函数，所以g（0）=1-b=0，∴b=1，
∴a+b=
【考点】本题考查函数的奇偶性
点评：解决本题的关键是掌握若函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），且奇函数过原点
97. 已知是定义在R上的偶函数，并满足，当,则__________．
【答案】
【解析】由可得，∵函数f（x）是R上的偶函数，∴，∴ ，∵，∴，即．
【考点】考查了函数性质的应用．
点评：解本题的关键是根据题中给出的条件把自变量转化为在[2，3]的范围内，求出函数值．
98. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个结论：
①； ②函数是偶函数； ③任取一个不为零的有理数对任意的恒成立； ④存在三个点，使得为等边三角形.
其中正确结论的个数是（ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
【解析】由题意知， ，故，故①是假命题；
当时， ，则；当时，，则，故函数 是偶函数，②是真命题；
任取一个不为零的有理数,若，则是有理数；若，则，∴都有，故③是真命题；
取点， ，是等边三角形，故④是真命题.
故答案为C.
【考点】函数的性质
点评：解本题的关键是掌握新给函数的含义，能够根据给出函数的运算对给出的选项进行判断.
99. 若是奇函数，则实数= ．
【答案】0．1
【解析】函数定义域为R，
【考点】奇函数性质
100. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)> 0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
【答案】（1）略（2）略 (3) 0 （1）利用赋值法解决，令x=y=0即得； （2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x＜0时，f（x）＞0即可； （3）利用单调函数的定义证明，设x1＜x2，将f（x2）写成f[（x2-x1）+x1]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得； （4）由f（x）•f（2x-x2）＞f（0）得f（3x-x2）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可
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