2020-2021学年福建省宁德市七年级(下)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.

1．计算：2﹣1＝（　　）

A．2    B．﹣2    C．    D．

2．在下列四所大学的校标中，内圆部分的图案不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．数据0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．0.22×10﹣7    B．2.2×10﹣8    C．2.2×10﹣9    D．22×10﹣10

4．下列四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．下列计算正确的是（　　）

A．a5•a2＝a10    B．2a+a＝3a2    C．（3a3）2＝6a6    D．a6÷a3＝a3

6．现有长度分别为3cm和5cm的两根木棒，若从下列长度的木棒中选择一根与原有的两根木棒首尾相接围成一个三角形，则这根木棒的长度可以是（　　）

A．2cm    B．3cm    C．8cm    D．9cm

7．如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断AD∥BC的是（　　）

A．∠ADB＝∠CBD    B．∠ABD＝∠CDB    

C．∠BAD＝∠DCB    D．∠BAD+∠CDA＝180°

8．同时抛两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，则下列事件中是不可能事件的是（　　）

A．点数之和为奇数    B．点数之和等于1    

C．点数之和为偶数    D．点数之和大于9

9．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如表所示的一组数据：

A．1.57s    B．1.55s    C．1.54s    D．1.51s

10．如图，已知△ABC，BA＝BC，点D是BC上一点．尺规作图：过点D作∠CDE＝∠B，DE交AC于点E；以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F，连接EF．若∠DEF＝x°，∠B＝y°，则y与x的关系式是（　　）

A．y＝    B．y＝﹣（180﹣x）    

C．y＝90﹣x    D．y＝180﹣2x

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.请将答案填入答题卡的相应位置）

11．若∠A的余角等于35°，则∠A＝　   　°．

12．计算：（x+2）（x﹣2）＝　     　．

13．在如图的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为　              　．

14．如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，则∠CAD＝　   　°．

15．如图是一个数值转换器，若输入的数是2021，则输出的数是 　     　．

16．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 　 　．

三、解答题（本大题有7小题，共52分。请在答题卡的相应位置作答）

17．计算：

（1）（x+1）2﹣x（x+1）；

（2）（x﹣y）（x﹣2y）+（3x3y﹣6xy3）÷3xy，其中x＝2，y＝﹣3．

18．请将下面的说理过程和理由补充完整．

已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，BC＝EF．说明AC∥DF的理由．

解：∵AB∥DE，

∴∠B＝　   　．（ 　   　）

在△ABC和△DEF中，．

∴△ABC≌△DEF．（ 　   　）

∴∠ACB＝∠DFE．（ 　   　）

∵∠ACB+∠ACF＝180°，

∠DFE+∠DFC＝180°，

∴∠ACF＝　   　．（等角的补角相等）

∴AC∥DF．（ 　   　）

19．为迎接建党100周年，某公司开展重走红军路活动，组织员工徒步前往某老区基点村．队伍从公司出发，行进一段后停下休息，随后再继续前进到达目的地．队伍行进的路程s（千米）与时间t（时）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）公司到该老区基点村的路程是 　 　千米，队伍中途休息了 　 　小时；

（2）图中点A表示的实际意义是什么？

（3）队伍休息前的行进速度快还是休息后的速度快？每小时快多少千米？

20．如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．

（1）说明△AOC≌△DOB的理由；

（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．

21．如图，七边形ABCDEFG是正七边形．

（1）若从点C，D，E，F，G中任取一点，以所取点及点A，B为顶点画三角形，求该三角形是等腰三角形的概率．

（2）请仅用无刻度的直尺画出该七边形的一条对称轴l，使点A与点B关于直线l对称．

22．图1是由边长分别为a，b的两个正方形拼成的图形，其面积为S1；图2是长、宽分别为a，b的长方形，其面积为S2．

（1）图3是由图1中的图形补成的大正方形，其面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是 　          　；

（2）在图1边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形，得到图4所示的图形．若S1＝13，S2＝5，求图4中阴影部分的面积．

23．在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．

（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC为 　 　倍角三角形；

（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；

（3）如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF，∠B＝∠D＝25°，∠F＝75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．

参

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．计算：2﹣1＝（　　）

A．2    B．﹣2    C．    D．

【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．

解：原式＝．故选：C．

2．在下列四所大学的校标中，内圆部分的图案不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

解：A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B．是轴对称图形，故本选项不合题意；

C．是轴对称图形，故本选项不合题意；

D．是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

3．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．数据0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．0.22×10﹣7    B．2.2×10﹣8    C．2.2×10﹣9    D．22×10﹣10

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

解：0.000000022＝2.2×10﹣8．

故选：B．

4．下列四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据邻补角的概念、对顶角的概念、三角形的外角性质判断即可．

解：A、∠1与∠2是邻补角，不一定相等，本选项不符合题意；

B、∵∠2是三角形的一个外角，

∴∠2＞∠1，本选项不符合题意；

C、∵∠1与∠2是对顶角，

∴∠1＝∠2，本选项符合题意；

D、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；

故选：C．

5．下列计算正确的是（　　）

A．a5•a2＝a10    B．2a+a＝3a2    C．（3a3）2＝6a6    D．a6÷a3＝a3

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．

解：A．a5•a2＝a7，故本选项不合题意；

B.2a+a＝3a，故本选项不合题意；

C．（3a3）2＝9a6，故本选项不合题意；

D．a6÷a3＝a3，故本选项符合题意；

故选：D．

6．现有长度分别为3cm和5cm的两根木棒，若从下列长度的木棒中选择一根与原有的两根木棒首尾相接围成一个三角形，则这根木棒的长度可以是（　　）

A．2cm    B．3cm    C．8cm    D．9cm

【分析】设第三根木棒的长为lcm，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．

解：设第三根木棒的长为lcm，则5﹣3＜l＜5+3，即2＜l＜8．观察选项，只有选项B符合题意．

故选：B．

7．如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断AD∥BC的是（　　）

A．∠ADB＝∠CBD    B．∠ABD＝∠CDB    

C．∠BAD＝∠DCB    D．∠BAD+∠CDA＝180°

【分析】根据平行线的判定对每一项分别进行分析即可得出答案．

解：A、∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项正确，符合题意；

B、∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意；

C、由∠BAD＝∠DCB，无法得到AD∥BC，故本选项错误，不符合题意；

D、∵∠BAD+∠CDA＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意；

故选：A．

8．同时抛两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，则下列事件中是不可能事件的是（　　）

A．点数之和为奇数    B．点数之和等于1    

C．点数之和为偶数    D．点数之和大于9

【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．依据各选项中事件发生的可能性进行判断即可．

解：A．点数之和为奇数，为随机事件，不合题意；

B．点数之和等于1，为不可能事件，符合题意；

C．点数之和为偶数，为随机事件，不合题意；

D．点数之和大于9，为随机事件，不合题意；

故选：B．

9．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如表所示的一组数据：

A．1.57s    B．1.55s    C．1.54s    D．1.51s

【分析】分析表中数据会发现：随着h逐渐升高，小车的时间逐渐减少，小车的平均速度逐渐加快，从而估计出答案．

解：支撑物的高度h（cm）从10（cm）上升到20（cm）时，小车下滑的时间t减少了1.23（s），

支撑物的高度h（cm）从20（cm）上升到30（cm）时，小车下滑的时间t减少了0.55（s）；

支撑物的高度h（cm）从30（cm）上升到40（cm）时，小车下滑的时间t减少了0.32（s）；

支撑物的高度h（cm）从40（cm）上升到50（cm）时，小车下滑的时间t减少了0.24（s）；

支撑物的高度h（cm）从50（cm）上升到60（cm）时，小车下滑的时间t减少了0.18（s）；

支撑物的高度h（cm）从60（cm）上升到70（cm）时，小车下滑的时间t减少了0.12（s）；

……

∴随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的平均速度逐渐加快，

又∵高度h（cm）从60（cm）上升到70（cm）时，小车的平均速度为：10÷0.12＝，

∴高度h（cm）从70（cm）上升到75（cm）时，小车的平均速度＞，

设支撑物的高度h为75cm时，小车下滑的时间为x，

则，（75﹣70）÷（1.59﹣x）＞，

解得：x＞1.53，

∴D选项1.51不符合题意；

当x＝1.57时，1.59﹣1.57＜1.57﹣1.50，不符合题意；

当x＝1.55时，1.59﹣1.55＜1.55﹣1.50，不符合题意；

当x＝1.54时，1.59﹣1.54＞1.54﹣1.50，符合题意，

故选：C．

10．如图，已知△ABC，BA＝BC，点D是BC上一点．尺规作图：过点D作∠CDE＝∠B，DE交AC于点E；以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F，连接EF．若∠DEF＝x°，∠B＝y°，则y与x的关系式是（　　）

A．y＝    B．y＝﹣（180﹣x）    

C．y＝90﹣x    D．y＝180﹣2x

【分析】根据平行线的性质得到∠CED＝∠CAB，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠CAB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣y°），求得∠CED＝（180°﹣y°），根据三角形的内角和定理即可得到结论．

解：∵∠CDE＝∠B，

∴DE∥AB，

∴∠CED＝∠CAB，

∵BA＝BC，

∴∠C＝∠CAB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣y°），

∴∠CED＝（180°﹣y°），

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA，

∴∠EAF＝∠EFA＝∠C，

∴∠AEF＝∠B＝y°，

∴∠CED+∠DEF+∠AEF＝（180°﹣y°）+x°+y°＝180°，

∴y＝180﹣2x，

故选：D．

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.请将答案填入答题卡的相应位置）

11．若∠A的余角等于35°，则∠A＝　55　°．

【分析】根据和为90°的两个角互余，用90°减去一个角的余角就等于这个角的度数．

解：∵∠A的余角是35°，

∴∠A＝90°﹣35°＝55°．

故答案为：55．

12．计算：（x+2）（x﹣2）＝　x2﹣4　．

【分析】利用平方差公式计算即可求得答案．

解：（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4．

故答案为：x2﹣4．

13．在如图的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为　　．

【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质求出阴影区域的面积即可．

解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，

根据旋转的性质易证阴影区域的面积＝正方形面积4份中的一份，

故针头扎在阴影区域的概率为；

故答案为：．

14．如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，则∠CAD＝　50　°．

【分析】在△ABD中，先利用三角形的内角和求出∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠ACD，最后利用三角形的内角和求出∠DAC．

解：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵∠B＝70°．

∴∠BAD＝20°．

∵CE是△ADC的角平分线，

∴∠ECD＝∠ACD．

∵∠BAD＝∠ECD＝20°，

∴∠ACD＝40°．

在△ACD中，

∠DAC＝90°﹣40°

＝50°．

故答案为：50．

15．如图是一个数值转换器，若输入的数是2021，则输出的数是 　2023　．

【分析】根据图中的运算顺序，利用平方差公式解答本题即可．

解：由题意知，

当x＝2021时，

[（x+1）2﹣1]÷x＝[（x+1﹣1）（x+1+1）]÷x＝x+2＝2021+2＝2023，

故答案为：2023．

16．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 　7　．

【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．

解：分割方案如图所示：

由图可得，最长分割线的长度等于7．

故答案为：7．

三、解答题（本大题有7小题，共52分。请在答题卡的相应位置作答）

17．计算：

（1）（x+1）2﹣x（x+1）；

（2）（x﹣y）（x﹣2y）+（3x3y﹣6xy3）÷3xy，其中x＝2，y＝﹣3．

【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；

（2）原式利用多项式乘以多项式法则，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

解：（1）原式＝（x+1）（x+1﹣x）

＝x+1；

（2）原式＝x2﹣2xy﹣xy+2y2+x2﹣2y2

＝2x2﹣3xy，

当x＝2，y＝﹣3时，原式＝8+18＝26．

18．请将下面的说理过程和理由补充完整．

已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，BC＝EF．说明AC∥DF的理由．

解：∵AB∥DE，

∴∠B＝　∠E　．（ 　两直线平行，内错角相等　）

在△ABC和△DEF中，．

∴△ABC≌△DEF．（ 　SAS　）

∴∠ACB＝∠DFE．（ 　全等三角形对应角相等　）

∵∠ACB+∠ACF＝180°，

∠DFE+∠DFC＝180°，

∴∠ACF＝　∠DFC　．（等角的补角相等）

∴AC∥DF．（ 　内错角相等，两直线平行　）

【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠E，继而用SAS证明△ABC≌△DEF．再根据全等三角形对应角相等得到∠ACB＝∠DFE，由等角的补角相等得到∠ACF＝∠DFC．故而由平行线的判定定理得到AC∥DF．

解：∵AB∥DE，

∴∠B＝∠E（两直线平行，内错角相等），

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形对应角相等），

∵∠ACB+∠ACF＝180°，

∠DFE+∠DFC＝180°，

∴∠ACF＝∠DFC（等角的补角相等），

∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：∠E，两直线平行，内错角相等，SAS，全等三角形对应角相等，∠DFC，内错角相等，两直线平行．

19．为迎接建党100周年，某公司开展重走红军路活动，组织员工徒步前往某老区基点村．队伍从公司出发，行进一段后停下休息，随后再继续前进到达目的地．队伍行进的路程s（千米）与时间t（时）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）公司到该老区基点村的路程是 　9　千米，队伍中途休息了 　0.5　小时；

（2）图中点A表示的实际意义是什么？

（3）队伍休息前的行进速度快还是休息后的速度快？每小时快多少千米？

【分析】（1）观察函数图象即可得出结论；

（2）根据题意，结合图象可得结论；

（3）根据速度＝路程÷时间，分别求出队伍休息前后的速度解答即可．

解：（1）由图象知，公司到该老区基点村的路程是9千米，队伍中途休息的时间为：2﹣1.5＝0.5（小时），

故答案为：9；0.5；

（2）图中点A表示的实际意义是队伍行进1.5小时所走的路程为6千米；

（3）队伍休息前的行进速度为：6÷1.5＝4（千米/小时）；

队伍休息后的速度为：（9﹣6）÷（2.5﹣2）＝6（千米/小时）；

6﹣4＝2（千米/小时）；

故队伍休息后的速度快，每小时快2千米．

20．如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．

（1）说明△AOC≌△DOB的理由；

（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．

【分析】（1）直接利用AAS即可证明△AOC≌△DOB；

（2）利用三角形外角的性质得到∠COB，再根据△AOC≌△DOB得到OC＝OB，即可求得∠OCB．

解：（1）在△AOC和△DOB中，

，

∴△AOC≌△DOB（AAS）；

（2）∵∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，

∴∠COB＝∠ACD+∠CAO＝122°，

∵△AOC≌△DOB，

∴OC＝OB，

∴∠OCB＝（180°﹣122°）÷2＝29°．

21．如图，七边形ABCDEFG是正七边形．

（1）若从点C，D，E，F，G中任取一点，以所取点及点A，B为顶点画三角形，求该三角形是等腰三角形的概率．

（2）请仅用无刻度的直尺画出该七边形的一条对称轴l，使点A与点B关于直线l对称．

【分析】（1）找出从点C，D，E，F，G中任取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论；

（2）连接CF，GD得到交点，再与E的连接画出直线即可求解．

解：（1）∵A、B、C；A、B、E；A、B、G三种取法三点可组成等腰三角形，

∴从点C，D，E，F，G中任取一点，以所取点及点A，B为顶点画三角形，该三角形是等腰三角形的概率为3÷5＝；

（2）如图所示：直线l即为所求．

22．图1是由边长分别为a，b的两个正方形拼成的图形，其面积为S1；图2是长、宽分别为a，b的长方形，其面积为S2．

（1）图3是由图1中的图形补成的大正方形，其面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是 　S3＝S1+2S2　；

（2）在图1边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形，得到图4所示的图形．若S1＝13，S2＝5，求图4中阴影部分的面积．

【分析】（1）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以S3＝a2+b2+（a+b）b+（a﹣b）b＝a2+b2+2ab，故S3＝S1+2S2．

（2）因为S阴影部分＝S大正方形﹣S空白部分，所以＝（a﹣b）2．由S1＝13，S2＝5，a＞b＞0，可得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3．

解：（1）如图3，

由题意知：，S2＝ab．

∵S3＝a2+b2+（a+b）b+（a﹣b）b

＝a2+b2+ab+b2+ab﹣b2

＝a2+b2+2ab，

∴S3＝S1+2S2．

故答案为：S3＝S1+2S2．

（2）∵S1＝13，S2＝5，a＞b＞0，

∴a2+b2＝13，ab＝5．

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3．

又∵S阴影部分＝S大正方形﹣S空白部分，

∴

＝a2﹣b2﹣2ab+2b2

＝（a﹣b）2

＝3．

23．在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．

（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC为 　3　倍角三角形；

（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；

（3）如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF，∠B＝∠D＝25°，∠F＝75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．

【分析】（1）根据三角形内角和求出∠C，再利用n倍角三角形定义即可求得△ABC为3倍角三角形；

（2）设最小内角的度数为x°，根据“一个等腰三角形是4倍角三角形”可得最大角为4x°，再利用三角形内角和即可求得x，即最小角的度数；

（3）利用ASA证明△BAE≌△DAF，得到AE＝AF，求得∠EAF，进而得到∠ACB，即可得到△ABC为5倍角三角形，同理可得△DEC为5倍角三角形．

解：（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，

∵90°÷30°＝3，

∴△ABC为3倍角三角形，

故答案为：3；

（2）设最小内角的度数为x°，则最大角为4x°，

当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为4x°，得：

4x+4x+x＝180，

解得x＝20，

当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为x°，得：

4x+x+x＝180，

解得x＝30，

∴最小内角的度数为20°或30°；

（3）∵∠BAD＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠DAF，

在△BAE和△DAF中，

，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴AE＝AF，

∵∠F＝75°，

∴∠EAF＝180°﹣75°×2＝30°，

∴∠BAD＝∠EAF＝30°，

∵∠B＝25°，

∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝125°，

∵125°÷25°＝5，

∴△ABC为5倍角三角形，

∵∠D＝25°，∠DCE＝∠ACB＝125°，

∴∠CED＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝30°，

∵125°÷25°＝5，

∴△DEC为5倍角三角形，

∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．