数学网上作业1

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“三角形”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“简单应用”三部分，这与课本的内容安排有所不同。教材的编写顺序是“与三角形有关的线段”、 “与三角形有关的角”、“多边形及其内角和”、“课题学习——镶嵌”顺次展开，是先学三角形，再学多边形，而新的结构是一种专题式设计，更多考虑到知识之间的关联，打破教材的原有安排，把三角形、四边形、多边形等有关的概念放在一起作为专题一集中处理，把具有探究性的三角形内角和定理、三角形三边关系及多边形内角和等作为专题二集中处理，这是考虑到三角形、四边形、多边形等概念的关联性及学完三角形内角和以后，学生很容易发问：四边形、五边形……的内角和是多少？因此，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性。专题三的简单应用是考虑到学完知识学生喜欢追问：学习这些有什么用处呢?而镶嵌问题恰恰会用到三角形及多边形的内角和，而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

理解与三角形有关的线段（边，高，中线，角平分线）．

理解三角形两边之和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．

会画出任意三角形的高、中线、角平分线．

了解三角形的稳定性．

了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形的内角和等于180°．探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．

通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．

过程与方法：

经历画任意三角形的高、中线、角平分线等重要线段的过程，培养动手能力、观察能力及信息技术应用能力；

经历探索并证明三角形（多边形）内角和定理、外角和定理的过程，体会并掌握转化等数学思想方法．

情感态度与价值观：

1．通过三角形的学习，体会数学在生活中的应用的广泛性.

2．通过设计镶嵌图案等活动，欣赏数学之美，培养审美意识．

3．通过运用几何语言进行有条理的表达，体会三角形知识的应用价值。

4．通过小组合作学习，培养主动参与、勇于探究的精神.

5．通过师生共同活动，在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在思考的同时能够认同他人。

2．探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。

3．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式

2. 三角形、多边形中的重要线段有那些？

3. 三角形、多边形的内角和有什么性质？

4. 三角形、多边形的外角和有什么性质？

5. 学习了三角形的相关概念及性质，如何学习多边形？

6. 怎样运用常见的多边形通过镶嵌设计图形？

专题2：探究三角形和多边形的性质

专题3：应用：镶嵌（课内1课时+ 课外研究性学习）

本专题的重点是三角形的相关概念，难点是三角形高线的画法和多边形的三角剖分．

本专题的主要学习活动包括在学生已有知识和经验的基础上，在老师指导下系统准确地提炼出三角形、四边形及多边形的定义；理解并掌握三角形的内角、外角等概念；画出并探索三角形的高、中线、角平分线的特性；通过画对角线进行多边形的三角剖分．

学生的主要学习成果包括：理解并掌握三角形、四边形、多边形的定义及相关概念，会借助工具（纸、笔、三角尺、量角器，几何画板软件等）画出三角形中的重要线段及多边形的对角线．

理解与三角形有关的线段（边，高，中线，角平分线）．

会画出任意三角形的高、中线、角平分线．

了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）

能通过对角线把多边形分割成三角形

过程与方法：

经历画任意三角形的高、中线、角平分线等重要线段的过程，培养动手能力、观察能力及信息技术应用能力；

经历把多边形分割成三角形的过程，体会转化的思想方法；

经历正多边形分割的过程，体会解决问题思路的多样化．

情感态度与价值观：

体会三角形、多边形等数学知识在生活中应用的广泛性；

通过对三角形内角和等定理的证明，培养言必有据的思维品格．

2.  三角形如何分类？

3．三角形有那些重要线段？

4.  多边形的重要线段？

5.  多边形如何分割成三角形？

第一课时  三角形与多边形

活动1：说说生活中的三角形和多边形

生活中哪里有三角形、四边形？

说说你对三角形、四边形的认识．

三角形、四边形对学生来已经有了一定的认识，这些认识有的来自以前的文化课学习，有的来自对生活的观察．通过说一说的活动，既可让学生梳理自己的经验和认识，也可受到他人的启发．

此处重在让学生开口、唤起参与愿望，激发兴趣，没有标准答案．

活动2：尝试给三角形下定义

【活动步骤】

1．三角形的定义及表示方法；

（1）每个学生思考什么是三角形；

（2）小组合作，组内交流各自的想法；

（3）教师组织班内交流，明确定义及表示方法：

    2．类比三角形的定义，给四边形下定义

个人思考，组内交流，班内交流．

在同一平面内，四条线段首位顺次相接所组成的图形叫做四边形．

3．类比三角形和四边形，给多边形下定义．

4．相应的，多边形可按组成它的线段的条数（边数）分类为：三角形（三边形）、四边形、五边形、六边形……

活动3：我给三角形分类

【活动步骤】

1．说一说三角形都有哪些类型；

2．思考：怎样分类可保证不重不漏？

3．尝试：我给三角形分类

4．小组交流

5．班内交流

【技术应用】在几何画板中动态演示任意三角形变为特殊三角形的过程．

活动4：认识正多边形

【活动步骤】

教师点拨：在三角形中有一类是等边三角形，等边三角形也叫正三角形．在四边形中有一类是正方形，正方形也叫正四边形．同样的，在多边形中也有一类是正多边形，什么样的多边形课称为正多边形呢？

学生发言，互相启发．

教师总结，正反例认证，形成共识．

【技术应用】几何画板演示正多边形的正反两方面的例子．

第二课时：三角形中的重要线段

活动1：认识三角形的高

【活动步骤】

1．求三角形的面积要用到三角形的高，尝试说一说什么是三角形的高？

2．归纳并按课本上的叙述方式给出高的定义．

3．思考：一个三角形有几条高？

4．任意画一个三角形，并画出该三角形的三条高．

5．班内交流：直角三角形、钝角三角形的高的画法．

【技术应用】学生尝试用几何画板画出一个三角形的高，拖动三角形的顶点改变三角形的形状，检验所画的高是否正确．

活动2：认识三角形的中线、角平分线

【活动步骤】

1．自学三角形中线的定义．

2．画三角形的中线．

3．试做如下推理：

如图，

（1）因为AD是△ABC的中线，所以BD=（   ）=（    ）；

（2）因为AD是△ABC的中线，所以BC=2（   ）=2DC；

（3）因为BD=DC（或BC=2BD，或BC=2DC），所以AD是△ABC的（    ）．

4．仿照上述学习三角形中线的步骤，自学三角形角平分线的定义、画法、推理．

活动3：认识多边形的对角线

【活动步骤】

1．自学多边形的对角线的定义．

2．以五边形为例，从一个顶点出发有几条对角线，共有几条对角线？

3．探究：n边形从一个顶点出发有几条对角线，共有几条对角线？

4．班内交流

【技术应用】学生利用几何画板画图并总结规律

活动4：多边形的三角剖分

【活动步骤】

1．提出问题：从一个多边形顶点出发画出的对角线能将多边形分成几个三角形？

2．组内交流探究方法． 

3．学生尝试．

4．班内交流

5．阅读与思考：课本86页“多边形的三角剖分”

【技术应用】学生利用几何画板画图并总结规律

第三课时（课外）：分割正多边形

以学校小组或兴趣小组为单位活动

活动1：分割正方形

【活动步骤】

1．提出问题：用两种方法把一个正方形分割为9个小正方形．

2．学生尝试。

3．小组交流画法．

4．思考：还能把正方形分割成几个小正方形？

5．对应任意整数n（n>8），能把一个正方形分割成n个小正方形吗？

6．整理自己的想法和做法，用合适的方式（如：数学小论文）表述自己的探索过程和结论．

【技术应用】借助几何画板进行探究；或：借助方格纸进行探究．

活动2：分割正三角形

【活动步骤】

1．提出问题：对于任意整数n（n>8），能把一个正三角形分割成n个小正三角形吗？

2．学生尝试，小组交流．

3．整理自己的想法和做法，用合适的方式（如：数学小论文）表述自己的探索过程和结论．

【技术应用】借助几何画板进行探究；或：借助印有正三角形网格的纸进行探究．

2．能否借助工具准确画出三角形的重要线段．

3．从正三角形、正方形的分割中评价其方法的独特性、多样性和思维的发散性．

本专题是三角形这一主题的核心部分，内容包括：三角形三边的关系定理、三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，多边形的外角和定理，这些重要定理都是平面几何最基本当然也是最重要的定理，是进一步学习平面几何的基础．本专题内容还包括三角形稳定性等基础知识．

本专题的重点是三角形的内角和定理、外角和定理，难点是多边形内角和定理的探索和证明．

本专题的主要学习活动包括在学生已经掌握了三角形、多边形的相关概念的基础上，在老师指导下探索出三角形三边的关系定理、寻求证明三角形内角和定理的方法并能深刻理解证明过程的本质、探索多边形内角和的求和公式并体会转化方法的运用、探索多边形的外角和定理．

学生的主要学习成果包括：理解并掌握三角形三边的关系定理，掌握三角形内角和定理、多边形内角和定理、多边形的外角和定理的结论和证明，进一步掌握证明几何问题的方法，形成证明的基本技能，体会转化思想的运用．

理解三角形两边之和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．

了解三角形的稳定性．

会用平行线的性质与平角的定义说明三角形的内角和等于180°．

探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

探索并了解多边形的内角和与外角和公式．

过程与方法：

经历探索并证明三角形三边关系定理、三角形（多边形）内角和定理、外角和定理的过程，体会并掌握转化等数学思想方法．

情感态度与价值观：

体会三角形、多边形等数学知识在生活中应用的广泛性；

通过运用几何语言进行有条理的表达，体会三角形知识的应用价值；

通过小组合作学习，培养主动参与、勇于探究的精神；

通过对三角形内角和等定理的证明，培养言必有据的思维品格．

2. 怎样说明三角形的内角和是180°？

3. 多边形的内角和有什么性质？

4. 三角形、多边形的外角和有什么性质？

5. 三角形是否具有稳定性？

第一课时：三角形的内角和定理

活动1：探索三角形三边关系

【活动步骤】

1．任意长度的三条线段都能组成三角形吗？教师组织学生用短木条进行实验．

2．组成三角形的三条线段有何关系？

学生观察、猜想，教师组织学生交流．

3．用文字或式子表述你发现的结论．

【技术应用】在几何画板中画三条线段，观察它们的长度满足什么条件是可构成三角形．

活动2：探索三角形内角和

【活动步骤】

1．验证三角形内角和是180°

．利用三角形纸片，通过剪拼成平角的方法验证；

．利用几何画板软件，通过度量计算的方法验证．

2．探索证明方法，用规范的推理步骤表达你的推证过程．

3．班内交流证法，思考证明方法的本质和关键．

【技术应用】

（1）探索结论时，计算验证；

（2）探索证明方法时，动态体现转化过程．

活动3：探索三角形的外角性质

【活动步骤】

1．自主学习，探索三角形一个外角与内角的关系；

2．组内交流结论和方法；

3．学以致用，用刚得到的结论，求出三角形的外角和；

4．开阔思路，用不同方法求得三角形的外角和．

【技术应用】

探索外角和；动态体现三角形的三个外角转化为一个周角的过程．

第二课时：多边形的内角和与外角和

活动一：探究四边形内角和

【活动步骤】

1.提出问题：三角形的内角和为180°，那么四边形的内角和是多少？

2.指导学生探究，交流。

用不同的方法得出四边形的内角和，思考这些方法有没有相似之处？

3.指导学生利用几何画板的功能展示四边形的内角和探究过程．

【技术应用】

利用度量、简拼、平移等方法，多角度探究四边形内角和．

活动二：探究n边形内角和

【活动步骤】

1．利用活动一获得的经验得出五边形的内角和；

2．利用前面活动获得的经验探究多边形的内角和，并试着说明理由；

3．指导学生结合课件给出的图表从代数角度猜测公式，从几何角度加以推理论证；

4．组织学生交流，总结结论、方法．

【技术应用】

借助几何画板探究多边形的内角和公式．

活动三：探索n边形的外角和

【活动步骤】

1．创设情境：小明沿五边形的广场周围跑步，如图所示，沿逆时针方向他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？是怎样得到的？

2．思考：三角形、四边形、六边形等外角和是多少？

3．推理得出n边形的外角和是多少？

【技术应用】

使用专门制作的几何画板课件探究、演示．

第三课时（课外）  三角形的稳定性

活动一：了解三角形的稳定性

1．个人自学课本67页内容，了解三角形的稳定性；

2．写一篇数学短文，介绍三角形的稳定性和四边形的不稳定性，并举出几个生活或生产中利用三角形的稳定性或四边形的不稳定性的例子．

活动二：制作活动挂架或放缩尺

1．学习小组的几个同学合作，制作活动挂架或放缩尺；

2．写出制作说明书和使用说明书；（选材，计算，下料，制作流程，使用方法，注意事项等）

3．作品展示交流．

放缩尺

【技术应用】

学生可用几何画板设计活动挂架或放缩尺．

2．推出多边形的内角和公式时思路是否清晰．

3．在探索多边形内角和公式和外角和定理的过程中，评价其方法的独特性、多样性和思维的发散性．

本专题是三角形这一主题的一个重要专题，体现了三角形和多边形等知识在现实生活中的一个具体应用。本专题的内容包括镶嵌的定义、镶嵌的条件、正多边形及其组合的镶嵌、任意三角形和四边形的镶嵌以及镶嵌图案设计等．

本专题的重点是正多边形的镶嵌，难点是用代数方法判别多边形及其组合能否镶嵌．

本专题的主要学习活动包括在学生已有知识和经验的基础上，在老师指导下系统准确地提炼出镶嵌的基本条件，并把基本条件应用到判别正多边形及其组合能否实现镶嵌；探索任意四边形的镶嵌；进行镶嵌图案设计等．由于课内学习时空的，我们把这个专题的第二课时“设计一个由多边形或多边形的组合构成的平面镶嵌图案”作为研究性学习内容。

学生的主要学习成果包括：理解并掌握镶嵌的定义及基本条件，能判断正多边形及其组合能否实现镶嵌，设计镶嵌图案．

1．指导镶嵌的定义和条件；

2．知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，会判断哪些正多边形的组合能实现镶嵌．

3．能运用正多边形进行简单的镶嵌设计．

过程与方法：

1．经历探索镶嵌条件，判断正多边形及其组合能否镶嵌的过程，培养动手能力、观察能力及信息技术应用能力；

2．经历设计镶嵌图案的过程，体会数学知识的运用过程．

情感态度与价值观：

1．通过设计镶嵌图案等活动，欣赏数学之美，培养审美意识；

2．体会数学知识在现实生活中应用的广泛性．

2．用大小形状相同的任意四边形能实现镶嵌吗？

3．哪些正多边形可单独或组合而实现镶嵌？

第一课时  镶嵌（一）

活动一：说说生活中的镶嵌

【活动步骤】

1.自学课本，理解镶嵌的定义；

2.举出几个生活中镶嵌的例子．

活动二：探索平面镶嵌的条件

【活动步骤】

（1）小组合作，利用单独一种正多边形纸片拼图，或利用几何画板课件，探讨哪几种正多边形能实现镶嵌？

（2）个人思考：平面镶嵌的条件是什么？小组交流，形成共识．

（3）如果用两种或三种正多边形，哪些能实现镶嵌？为什么？

个人思考，小组交流，合作进行拼图，或利用几何画板课件验证你的结论．

【技术应用】

利用几何画板中的自定义工具进行拼图

活动三：用大小形状相同的任意四边形能实现镶嵌吗？

【活动步骤】

（1）小组合作：用任意四边形的纸片或课件拼图实验；

（2）个人思考实验结果，用所学或活动2的结论解释实验结果，小组交流，形成共识．

（3）把你的结论，连同活动2的结论记录下来，形成一个实验报告．

【技术应用】

用几何画板探讨任意四边形的镶嵌方式．

第二课时   镶嵌（二）

活动一：设计一个由多边形或多边形的组合构成的平面镶嵌图案．

【活动步骤】

（1）个人设计镶嵌图案，要求用实物（纸片）拼成粘贴，或借助绘图工具（绘图工具、几何画板等）画出图案；

（2）小组交流，修改完善自己的图案，形成作品（纸质稿或电子稿）．

（3）班内进行作品展示交流．

2．能否借助镶嵌的基本条件准确判断正多边形及其组合可否实现镶嵌．

3．从设计的镶嵌图案中评价其方法的创造性和思维的发散性．