2019-2020学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷及答案

一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．

1．（4分）cos120°是（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（　　）

A．（1，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（0，2）

3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（　　）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

5．（4分）已知tanx＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（　　）

A． B．

C． D．

8．（4分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）

C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）

9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．[﹣2，0） C．（﹣2，0] D．（0，1）

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是　   　．

12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是　   　．

13．（4分）不等式（）＞1的解集是　   　．

14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝　   　．

15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是　   　．

三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．

16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：

（1）求sin（α﹣β）的值；

（2）求α﹣β的值．

17．（8分）已知＝2．

（1）求tanx的值；

（2）求的值．

18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．

19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，

（1）确定f（x）的解析式；

（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；

（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

20．（8分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x（x∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．

2019-2020学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．

1．（4分）cos120°是（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°，从而求得结果．

【解答】解：cos120°＝cos（180°﹣60°）＝﹣cos60°＝﹣，

故选：A．

【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．

2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（　　）

A．（1，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（0，2）

【分析】解不等式求出集合A、B，再计算A∪B．

【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），

集合B＝＝{x|1＜x＜2}＝（1，2），

则A∪B＝（﹣2，3）．

故选：B．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（　　）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

【分析】由题意知函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．

【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，

f（3）＝log23+3﹣5＜0；

f（4）＝2+4﹣5＞0；

故函数f（x）＝log2x+x﹣5的零点所在的区间是（3，4）；

故选：C．

【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．

【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，

b＝20.2＞20＝1，

∵0＜0.20.3＜0.20＝1，

∴c＝0.20.3∈（0，1），

∴a＜c＜b，

故选：B．

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．

5．（4分）已知tanx＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算得解．

【解答】解：∵tanx＝﹣，x∈[，π]，

∴cos（﹣x）＝cosx＝﹣＝﹣＝﹣．

故选：C．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．

【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，

而＞，如a＝1，b＝0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，

故选：B．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．

7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据周期为π＝ 求得ω＝2，故排除C、D．再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论．

【解答】解：根据周期为π＝，∴ω＝2，故排除C、D．

再根据函数为偶函数，而＝﹣sin（﹣2x）＝﹣cos2x，故函数是偶函数，故满足条件．

而＝cos（﹣2x）＝sin2x，为奇函数，不满足条件，故排除．

故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题．

8．（4分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）

C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）

【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．

【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，

即＝π，即ω＝2，

则f（x）＝3sin（2x+φ），

由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，

即φ＝，

则f（x）＝3sin（2x+），

故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．

9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解

【解答】解：依题意，，解得0≤a＜，

故选：B．

【点评】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．

10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．[﹣2，0） C．（﹣2，0] D．（0，1）

【分析】本题可先画出分段函数f（x）的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出bc＝1，即可得到abc的取值范围．

【解答】解：由题意，可画出f（x）函数的图象大致如下：

∵存在三个不同实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），

可假设a＜b＜c，

∴根据函数图象，可知：﹣2＜a≤0，0＜b＜1，c＞1．

又∵f（b）＝f（c），

∴|log2019b|＝|log2019c|，

即：﹣log2019b＝log2019c．

∴log2019b+log2019c＝0．

∴log2019bc＝0，即bc＝1．

∴abc＝a．

∵﹣2＜a≤0，

∴﹣2＜abc≤0．

故选：C．

【点评】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是　∀x＞0，x2+x﹣1≤0　．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．

故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是　16　．

【分析】x+y等于x+y乘以，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．

【解答】解：∵

∴＝

当且仅当时，取等号．

故答案为16．

【点评】本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．

13．（4分）不等式（）＞1的解集是　（﹣1，3）　．

【分析】先利用指数函数的单调性得x2﹣2x﹣3＜0，再解一元二次不等式即可．

【解答】解：（）＞1⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3．

故答案为：（﹣1，3）

【点评】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．

14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝　﹣　．

【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．

【解答】解：原式＝2﹣3+1﹣＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是　　．

【分析】依题意，一次函数y＝ax+2为减函数，且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，由此可得到a的取值范围．

【解答】解：由复合函数的单调性可知，一次函数y＝ax+2为减函数，则a＜0，

且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，则只需3a+2≥0，即，

∴．

故答案为：．

【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题．

三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．

16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：

（1）求sin（α﹣β）的值；

（2）求α﹣β的值．

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系分别求得cosα和sinβ的值，利用两角和公式求得sin（α﹣β）的值．

（2）根据）α，β的范围判断出α﹣β的范围，最后根据sin（α﹣β）的值求得答案．

【解答】解：（1）∵α，β均为锐角，

∴cosα＝＝，sinβ＝＝，

∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝×﹣×＝﹣，

（2）∵α，β均为锐角，

∴﹣＜α﹣β＜，

∵sin（α﹣β）＝﹣，

∴α﹣β＝﹣

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生基础知识的运用和运算能力．

17．（8分）已知＝2．

（1）求tanx的值；

（2）求的值．

【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解tanx的值；

（2）利用诱导公式可求tan的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．

【解答】解：（1）∵＝2，可得＝2，

∴解得tanx＝﹣3；

（2）∵tan＝tan（π+）＝tan＝1，

∴＝＝＝﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．

【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换可得sin（2×+）+a﹣1＝0，即可解得a的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数解析式，由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可求解其值域．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a，

＝cos2x+sin2x﹣2•+a，

＝sin（2x+）+a﹣1，

又f（）＝0．可得sin（2×+）+a﹣1＝0，

解得：a＝1．

（Ⅱ）由题意可得：f（x）＝sin（2x+）．

由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，

可得sin（2x+）∈[﹣，1]，可得f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，]．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，

（1）确定f（x）的解析式；

（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；

（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得b的值，验证即可得答案；

（2）根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得结论；

（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得t的取值范围，即可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，

则有f（0）＝＝0，则b＝0；

此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，

故f（x）＝，

（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，

f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣

又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，x1x2+1＞0，

则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数；

（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，

解可得：＜t＜1，即不等式的解集为（，1）．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．

20．（8分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x（x∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．

【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．

（Ⅱ）利用三角函数的关系式中角的恒等变换的应有求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x＝＝．

令（k∈Z），解得（k∈Z），

所以函数的单调增区间为：[]（k∈Z）．

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）+1的图象，

由于g（x0）＝，即，整理得．

由于x0∈[，]，所以．

故．

则＝＝．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．