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昆明市2013届高三复习适应性检测

理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）复数（是虚数单位）的虚部是

（A）           （B）         （C）1          （D） 

（2）对某班级名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查，得到如下表所示：

（A）在犯错误的概率不超过的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”

（B）在犯错误的概率不超过的前提下，认为“数学成绩与物理成绩无关”

（C）有的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”

（D）有以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”

（3）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结，得到三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图为全等的等腰直角三角形，如图所示，则侧视图的面积为

（A）         （B）

（C）        （D）1

（4）已知等差数列满足，，则数列的前10项的和等于 

（A）23         （B）95         （C）135         （D）138

（5）下列程序框图中，某班50名学生，在一次数学考试中，表示学号为的学生的成绩，则

   （A）P表示成绩不高于60分的人数；

（B）Q表示成绩低于80分的人数；

（C）R表示成绩高于80分的人数；

（D）Q表示成绩不低于60分，且低于80分人数.

（6）设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，若的面积为，则

（A）         （B）         （C）         （D）

（7）已知函数，若为偶函数，则的一个值为

（A）          （B）         （C）          （D）

（8）命题：若函数在上为减函数，则；命题：是为增函数的必要不充分条件；命题：“为常数，，”的否定. 以上三个命题中，真命题的个数是

（A）         （B）         （C）1         （D）

（9）三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为

（A）1         （B）         （C）         （D）

（10）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是

（A）         （B）         （C）         （D）

（11）过双曲线左焦点斜率为的直线分别与的两渐近线交于点与，若，则的渐近线的斜率为

（A）         （B）          （C）         （D）

（12）设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是

（A）               （B）

（C）                  （D） 

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上

（13）设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则               .

（14）在展开式中，不含的项的系数和是        .

（15）某一部件由四个电子元件按如图方式连结而成，已知每个元件正常工作的概率为，且每个元件能否正常工作相互，那么该部件正常工作的概率为                  .

（16）数列的首项为1，数列为等比数列且，若，

则          .

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）在中，角所对的边分别为，已知，

   （Ⅰ）求的大小；

   （Ⅱ）若，求的周长的取值范围.

（18）某种报纸，进货商当天以每份进价元从报社购进，以每份售价元售出。若当天卖不完，剩余报纸报社以每份元的价格回收。根据市场统计，得到这个季节的日销售量（单位：份）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率。

   （Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

   （Ⅱ）若进货量为（单位：份），当时，求利润的表达式；

   （Ⅲ）若当天进货量，求利润的分布列和数学期望（统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）． 

（19）如图，四边形是正方形，，，，．

   （Ⅰ）求证：平面平面；

   （Ⅱ）若与所成的角为，求二面角的余弦值．

（20）已知是椭圆的右焦点，圆与轴交于两点，是椭圆与圆的一个交点，且.

   （Ⅰ）求椭圆的离心率；

   （Ⅱ）过点与圆相切的直线与的另一交点为，且的面积等于，求椭圆的方程.

（21）设函数（，为常数）

   （Ⅰ）讨论的单调性；

   （Ⅱ）若，证明：当时，.

选考题（本小题满分10分）

    请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡第Ⅰ卷选择题区域内把所选的题号涂黑. 注意：所做题目必须与所涂题号一致. 如果多做，则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

    如图，是圆的直径，、在圆上，、的延长线交直线于点、，．求证：

   （Ⅰ）直线是圆的切线；

   （Ⅱ）．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

    在极坐标系中，已知圆的圆心，半径.

   （Ⅰ）求圆的极坐标方程；

   （Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    设函数.

   （Ⅰ）解不等式；

   （Ⅱ）若函数的解集为，求实数的取值范围.

昆明市2013届高三复习适应性检测

理科数学参及评分标准

一．选择题： 

1．C         2．A          3．A        4．B            5．D          6．C

7．B         8．D          9．C        10．B          11．A          12．A

二、填空题：

13．2        14．         15．          16．1024

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得， 

从而， 

∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）法一：由已知：， 

由余弦定理得： 

（当且仅当时等号成立）

∴（，又，

∴，

从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

法二：由正弦定理得：.

∴，，

.

∵ 

∴，即（当且仅当时，等号成立）

从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18．解：（Ⅰ）由图可得：， 解得．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（Ⅱ）， ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（Ⅲ）若当天进货量，依题意销售量可能值为，，；对应的分别为：100，250，400.

利润的分布列为：

19．解：（）平面，且平面，

，

又是正方形， ，而梯形中与相交，

平面，

又平面，

平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（）平面，则，，

又，， ，

以点为原点，依次为轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，.

则，，，

，　．．．．．．．．．．6分

，，　

由与所成的角为，

得

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

，，

求得平面的一个法向量是

；．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

，，

求得平面的一个法向量是；．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故二面角的余弦值为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（其他做法参照给分）

20．解：（Ⅰ）由题意，，，，

∵， 

得，

由，

得，

即椭圆的离心率………（4分）

（Ⅱ）的离心率，令，，则

直线，设

由    得， 

又点到直线的距离，

的面积，

解得

故椭圆………（12分）

21．解：（Ⅰ）的定义域为，  ， 

（1）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；

（3）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ……（6分）

（Ⅱ）证明:不等式等价于

因为， 所以，

因此   

令， 则

令得：当时，

所以在上单调递减，从而. 即，

在上单调递减，得:，

当时，.. ……（12分）

22．证明：（Ⅰ）连，∵是圆的直径，

∴，

∵，∴， 

又∵，

∴∽，∴，

∵是圆的半径，

∴直线是圆的切线．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）方法一：∵∽，∴，

又，∴，

∵，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法二：∵∽，∴，

又，∴，

∴四点、、、四点共圆，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

23．解：（Ⅰ）【法一】∵的直角坐标为，

∴圆的直角坐标方程为.

化为极坐标方程是.

【法二】设圆上任意一点，则

如图可得，.

化简得.．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）将代入圆的直角坐标方程，

得

即

有.

故，

∵，

∴，

即弦长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

24．解：（Ⅰ） 

，即解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）

如图，，

故依题知， 

即实数的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．．．．．5分