2021年高考全国乙卷文科数学真题含答案

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、未分类（共23题）

1、 已知全集 U={1,2,3,4,5}, 集合 M={1,2},N={3,4}, 则 C u （ MUN ） = 

A.{5} 

B.{1,2} 

C.{3,4} 

D.{1,2,3,4} 

2、 设 iz=4+3i ，则 z 等于 

A.-3-4i 

B.-3+4i 

C.3-4i 

D.3+4i 

3、 已知命题 ， sinx<1，命题 e |x| 1 ，则下列命题中为真命题的是 

A.p q 

B. p q 

C.p q 

D. (p q) 

4、 函数 f （ x ） =sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 

A.3 π 和 

B.3 π 和 2 

C. 6 π 和 

D. 6 π 和 2 

5、 若 x ， y 满足约束条件 , 则 z=3x+y 的最小值为 

A.18 

B.10 

C.6 

D.4 

6、 

A. B. C. D. 

7、 在区间 (0, ) 随机取 1 个数，则取到的数小于 的概率为 

A. B. C. D. 

8、 下列函数中最小值为 4 的是 

A. 

B. 

C. 

D. 

9、 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是 

A. 

B. 

C. 

D. 

10、 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 ， P 为 B 1 D 1 的重点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为 

A. B. C. D. 

11、 设 B 是椭圆 C ： 的上顶点，点 P 在 C 上，则 |PB| 的最大值为 

A. B. C. D.2 

12、 设 a ≠ 0 , 若 x=a 为函数 f(x)= a(x-a) 2 (x-b) 的极大值点，则 

A.aB.a>b

C.ab< a2 

D. ab> a2 

13、 已知向量 a=(2,5),b=(λ,4) ，若 ，则 λ=________. 

14、 双曲线 的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为 _________. 

15、 记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为 ， B= ， ，则 b=_______. 

16、 以图 ① 为正视图，在图 ②③④⑤ 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）。 

17、 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为 和 , 样本方差分别记为 和 . 

（ 1 ）求 ， ， ， 

（ 2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果） ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） . 

18、 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形， PD 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且 PB AM. 

（1） 证明：平面 PAM 平面 PBD ； 

（2） 若 PD=DC=1 ，求四棱锥 P-ADCD 的体积 . 

19、 设 是首项为 1 的等比数列，数列 满足 ，已知 ， 3 ， 9 成等差数列 . 

(1) 求 和 的通项公式； 

(2) 记 和 分别为 和 的前 n 项和 . 证明： < . 

20、 已知抛物线 C ： (p>0)的焦点 F 到准线的距离为 2. 

(1) 求 C 的方程 . 

(2) 已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 ，求直线 OQ 斜率的最大值 . 

21、 已知函数 . 

（ 1 ）讨论 的单调性； 

（ 2 ）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标 . 

22、 在直角坐标系 中， O 的圆心为 ，半径为 1. 

（ 1 ）写出 O 的一个参数方程。 

（ 2 ）过点 作 O 的两条切线，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程。 

23、 已知函数 . 

（ 1 ）当 时，求不等式 的解集； 

（ 2 ）若 ，求 的取值范围 . 

============参============

一、未分类

1、 A 

2、 C 

3、 A 

4、 C 

5、 C 

6、 D 

7、 B 

8、 C 

9、 B 

10、 D 

11、 A 

12、 D 

13、 

14、 

15、 2 

16、 ③④ 

17、 （ 1 ） (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7) =10 

(10.1+10.4+10.1+10.0+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5) =10.3 

(0.04+0.09+0+0.04+0.01+0.04+0+0.01+0.04+0.09) =0.036 

(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04) =0.04 

(2) 

∵ 9-4 × 0.76=9-3.04 ＞ 0 

∴ 

故认为新设备生产 产 品的该项指标的均值较旧设备有显著 

18、 解 : 

(1) 四棱锥 P-ABCD 中 , PD⊥ 底面 ABCD 

∴ PD⊥AM 

由已知 : PB⊥AM PD∩PB=P 

∴ AM ⊥ 平面 PBD 

∵ AM∩ 平面 PAM 

∴ 平面 PAM⊥ 平面 PBD 

已知底面 ABCD为矩形，且PD⊥底面ABCD 

以 D为原点, DA, DC, DP为x, y, z建立空间直角坐标系 

由 PD=DC=1 

设 P (0 , 0 , 1) C(0 , 1 , 0)A(m,0 , 0) B(m , 1 ,0 ) 

M( ,1,0)则 =(- ,1,0), =(m,1,0) 

由 ⊥ 

∴ · =0 

即 - +1=0 

∴m= 

∴V 四棱锥 P-ABCD = S 矩形 ABCD ×DP= × ×1×1= 

19、 6q=1+9q 2 →9q 2 -6q+1=0,即(3q-1) 2 =0 

∴q= ∴a n =( ) n-1 

由 b n = 

( 2 ) {a n } 是等比数列 则 S n = ,则 

由于 b n= 

∴T n = 

相减得 

∴ 

作差： 

∴ ，成立 

20、 (1)∵p=2,∴y 2 =4x 

( 2 ) ∵ ,设P (x 0 , y 0 ) ,则y 0 2 =4x 0 . 

∴ 得出 得出 

∴k OQ = 

当 y 0 >0时， (当且仅当y 0 = 6时取等) 

当 y 0 <0时,

当 y 0 = 6时，k OQ 有最大值为 ， 

∴当P点坐标为(9,6) 时,直线 OQ 的斜率的最大值为 

21、 (1) f(x)=x 3 -x 2 +ax+1,f ’ (x)=3x 2 -2x+a 

①当 a ≥ 时， f’(x)≥0恒成立, ∴ f(x)在R上单调递增。 

②当a< 时， f’( x )=0,得 出 

f’(x)在(- ∞ ， )( ,+ ∞)上为正 

在（ ， ）上为负，在 , 处为 0 

所以 f(x)在区间 (- ∞ ， )( ,+ ∞)上单调递增 

在区间 ( , )上单调递减 

综上，当 a≥ 时 , f( x )单调递增区间为(-∞，+∞)， 

当 a < 时， f(x)单调递增区间为(-∞, ), ( ,+∞ ),π 

f(x)单调递增区间为( ， ) 

(2)设切点(x 0 , y 0 ) ,则y 0 =x 0 3 -x 0 2 +ax 0 +1 

k=f‘(x 0 )= 3 x 0 2 -2x 0 + a 

∵ f(x)过原点 

∴ =3 x 0 2 -2x 0 + a 

x 0 3 -x 0 2 +ax 0 +1=3 x 0 3 -2x 0 2 + a x 0 

2 x 0 3 -x 0 2 =1 

(x 0 -1)(2x 0 2 +x 0 +1)=0 

∴x 0 =1， y 0 =a+1 

即切点 ( 1 , a+1) ,k=a+1,切线y=(a+1)x 

∵ 

解得 : x 3 -x 2 -x+1=0 (x+1)(x- 1) 2 =0 x=-1或x=1. 

∴ f(-1)=-1-a，f(1)=a+1 

∴ 公共点 (- 1 , -1-a) ,(1,1+a) 

22、 (1)QC中, C(2,1),r=1,设圆心角为 θ 

参数方程为 , θ为参 数 

(2)在直角坐标系内，F(4.1)， C(2,1) 

CF所在直线为y=1过F做QC的切线，倾斜角为30°或150°，斜率k= 或 - ， 

切线方程为 y-1=± (x-4) 

在相应的极坐标系中 ,则± (ρsin θ -1)=ρcos θ -4 

化简得 ρ cosθ + ρ sinθ-4- = 0 或 ρcosθ - ρ s i nθ-4+ =0 

23、 (1)f(x)=|x-a|+|x+3|，当a=1时, f(x)=|x-1|+|x+3|≥6 

由 ,由图知 

不等式的解集为 

(2)若f(x)≥-a 

f(x)=|x-a|+|x+3|≥|x-a-x-3|=|a+3| 

当 x+3=0且(x-a)(x+3)≤0时 

即 x=-3时,取“= ” 成立 ,则f(x) min =|a+3| 

,恒有f(x)>-a恒成立

所以 |a+3|>-a

即 或 解得 a大于- 

a的取值范围是(- , + ∞ )