高中数学圆的方程典型例题选

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2  展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋)2＋(y＋)2＝

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数  都为1 ，没有  xy  的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2（三）温馨提示

1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝ ，y＝

类型一：圆的方程

例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．

例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．

例4、 设足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5　已知圆，求过点与圆相切的切线．

例6 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．

例7、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。

类型三：弦长、弧问题

例8、求直线被圆截得的弦的长.

例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为    

例10、求两圆和的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

例13 圆上到直线的距离为1的点有几个？

类型五：圆与圆的位置关系

14：若圆与圆相切，则实数的取值集合是          .